§ 10. Почленное дифференцирование функциональных рядов

Теорема (о почленном дифференцировании рядов). Пусть ряд

сходится на сегменте имеет сумму а его члены имеют на этом сегменте непрерывные производные, причем составленный из этих производных ряд

сходится на равномерно и имеет сумму

Тогда ряд (5.47) сходится на равномерно, и производная его суммы равна сумме ряда (5.48);

Доказательство. Пусть частичная сумма ряда (5.47). Тогда

будет, очевидно, частичной суммой ряда производных (5.48).

По условию теоремы последовательность

частичных сумм ряда (5.42) сходится на сегменте а последовательность

частичных сумм также сходится на этом отрезке и притом равномерно.

Следовательно, на основании теоремы о переходе к пределу под знаком производной (см. § 6) последовательность (5.49) сходится равномерно и производная ее предела равна пределу последовательности (5.50).

Сделаем простое, но полезное замечание: для почленного дифференцирования в некоторой точке х сходящегося ряда достаточно сходимости ряда его непрерывных производных не в каком-либо заранее предписанном сегменте но в любом сколь угодно малом (важно лишь, чтобы он содержал точку

Примеры.

1. Заменяя в ряде из примера 1 § 9 переменную х на мы получаем ряд

Из него непосредственно получается, что

Справа здесь стоит некоторый ряд. Продифференцировав его почленно, мы получим

Поскольку здесь

так что

этот ряд сходится абсолютно и равномерно для всех Следовательно, написанный ряд производных сходится к производной от суммы ряда (5.46):

Эта сходимость — равномерная при всех

2. Согласно формуле (1.30)

при всех а: из Однако на основании (1.28) для частичных сумм ряда, состоящего из производных членов ряда (5.53), мы имеем

Здесь, очевидно, при возрастании правая часть ни к какому пределу не стремится. Следовательно, ряд производных расходится, и теорема о почленном дифференцировании неприменима.