§ 9. Дальнейшие свойства рядов

Пусть нам дана некоторая сумма чисел, насчитывающая конечное число слагаемых:

Приписав к этой сумме бесконечный «хвост» из нулей, мы получим ряд

Очевидно, для этого ряда

Значит,

Поэтому ряд (2.34) сходится, и сумма его равна т. е. сумме (2.33).

На основании сказанного мы можем сделать важное замечание. Всякая сумма является частным случаем сходящегося ряда. Поэтому все утверждения, справедливые для сходящихся рядов, остаются в силе и для конечных сумм.

Несколько более общий факт мы оформим в виде теоремы.

Теорема 1. Присоединим к числу членов некоторого ряда в качестве новых членов произвольное (может быть,

бесконечное) количество нулей, разместив их между ста-рыми членами ряда произвольным образом. В этом случае новый ряд будет сходиться тогда и только тогда, когда сходится старый ряд, и сумма нового ряда будет равна сумме старого.

Доказательство. Пусть

— новый ряд. Для него, как и для всякого ряда,

Если то Поэтому последовательность частичных сумм нового ряда будет отличаться от последовательности частичных сумм старого ряда лишь повторениями некоторых сумм по нескольку раз. Очевидно, повторения членов последовательности не сказываются ни на ее сходимости, ни на ее пределе, что и доказывает теорему.

Теорема 2. Если в ряд вписать на любых местах конечное число новых членов, то сходимость ряда не изменится, т. е. сходящийся ряд останется сходящимся, а расходящийся — расходящимся. Если первоначальный ряд был сходящимся, то сумма нового ряда получается из суммы старого увеличением ее на сумму вписанных членов. Доказательство. Пусть

— наш исходный ряд. В те места, в которые по условию теоремы надлежит вписать новые члены, впишем пока нули. По предыдущей теореме от такой операции не изменяется ни сходимость ряда, ни его сумма. Пусть

— получившийся при этом ряд.

Составим теперь еще один ряд

в котором на тех местах, на которых в (2.35) стоят «старые» члены, находятся нули, а на тех местах, где в (2.35) стоят вписанные нули, расположены в надлежащем порядке «новые» члены. Сумма ряда (2.36), очевидно, равна сумме «новых» членов.

На основании теоремы о сложении рядов (теорема 4 § 8) ряд

сходится вместе с рядом (2.35), и сумма его получается сложением суммы ряда (2.35) и ряда (2.36).

Нам остается заметить, что (2.37) и есть тот самый ряд, который получается путем вписывания в исходный ряд новых членов.

Следствие. Если из ряда выбросить конечное число его членов, то его сходимость не нарушится; если исходный ряд сходящийся, то сумма полученного ряда будет меньше суммы первоначального ряда на сумму выброшенных членов.

Замечание. О сходимости ряда судят по его членам. Однако, как было только что выяснено, сходимость ряда не зависит от любого конечного числа членов ряда. Поэтому для установления сходимости (или расходимости) ряда не обязательно учитывать все его члены. Достаточно ограничиться членами, «начиная с некоторого места» или «начиная с некоторого номера Этим обстоятельством мы будем часто пользоваться в дальнейшем.