§ 3. Признак сходимости Бертрана
Признак сходимости Раабе является весьма чувствительным, но есть ряды, сходимость (или расходимость) которых и он распознать не в состоянии. Один из таких рядов был нами описан в примере 4 § 2. Однако признак Куммера способен порождать и более чувствительные признаки сходимости, чем признак Раабе. Для этого надлежит брать ряды, расходящиеся медленнее, чем гармонический ряд.
Возьмем, например, в качестве такого расходящегося ряда 
ряд
расходимость которого была установлена в § 4 главы 
— произвольное число, очевидно, не влияющее на сходимость ряда). В этом случае мы получаем 
или, если выполнить элементарные преобразования, 
Ссылка на признак Куммера дает нам новый признак сходимости, который, разумеется, может быть
сформулирован и в непредельной форме, а в предельной выглядит следующим образом.
Теорема (признак сходимости Бертрана). Если
то ряд 
сходится, а если
то расходится.
Для доказательства достаточно заметить, что в нашем случае
Пример. Рассмотрим ряд
из примера 4 предыдущего параграфа. Для применения к этому ряду признака сходимости Бертрана напишем отношение соседних членов ряда
и разложим логарифмы и квадратные корни по формуле Тейлора, удерживая в каждом таком разложении на один член больше, чем это делалось 
примере 4 § 2. Мы получим
или, после естественных упрощений,
Выполнение деления дает нам
или (мы можем воспользоваться формулой (7,28) биномиального разложения для 
положив в ней 
или, наконец,
Составим предел, требуемый признаком Бертрана:
Мы видим, что ряд (12.13) расходится.
Выражаясь несколько вольно, можно сказать, что признак сходимости Бертрана в том же смысле и настолько же чувствительнее признака Раабе, в каком и насколько признак Раабе чувствительнее признака Даламбера: в тех случаях, когда признак Раабе указывает на сходимость или на расходимость ряда, значение предела, фигурирующего в признаке Бертрана, будет равно соответственно 
или — 
Естественно, что, беря в качестве стандартных рядов еще более медленно расходящиеся ряды, мы будем получать еще более чувствительные (хотя и еще менее практичные) признаки сходимости. В частности, можно продолжить последовательность признаков сходимости, начинающуюся с признаков Даламбера, Раабе и Бертрана, опираясь на расходящиеся ряды с общими членами
