§ 6. Теорема Таубера

В результате разного рода формальных выкладок — и, в частности, в результате переходов от одних рядов к другим —мы можем получить те или иные ряды, заведомо суммируемые по Пуассону — Абелю. Примером этого могут служить рассмотренные в предыдущем параграфе произведения рядов. Во всех такого рода случаях может представлять интерес выяснение сходимости этих рядов и в обычном смысле.

Таким образом, возникает вопрос о признаках сходимости специально для тех рядов, которые заведомо

суммируемы по Пуассону — Абелю. Эти признаки, относящиеся как к рядам, суммируемым по Пуассону — Абелю, так и к рядам, суммируемым в каком-либо ином смысле, обычно называются глауберовыми теоремами. Исторически первая из них, принадлежащая самому Тауберу, состоит в следующем.

Теорема Таубера. Для того чтобы суммируемый по Пуассону — Абелю ряд

имеющих сумму сходился в обычном смысле (и, разумеется, также имел сумму необходимо и достаточно, чтобы выполнялось предельное соотношение

Часть теоремы Таубера, касающуюся необходимости, мы выделим как самостоятельную лемму.

Лемма. Если сходится ряд (15.16), то имеет место (15.17).

Доказательство. Пусть ряд (15.16) сходится и его остаток. Сходимость ряда означает, что

Далее, мы имеем

Таким образом,

По (15.18) второй предел справа здесь равен нулю. Если бы первый предел не существовал или существовал бы, но был отличен от нуля, то нашлось бы такое что при сколь угодно больших значениях выполнялось бы неравенство

Найдем теперь в соответствии со сходимостью ряда (15.16) такое что при

а по нему — такое что

Число можно брать сколь угодно большим. Возьмем его таким, чтобы было одновременно

Напишем

Из (15.21) следует, что здесь первое слагаемое меньше, чем . Из (15.20) следует, что второе слагаемое меньше, чем . Значит, с учетом (15.22)

а это противоречит (15.19), и лемма доказана.

Переходим к доказательству достаточности. Начнем с того частного случая, когда члены ряда (15.16) убывают настолько быстро, что

Положим

Из (15.23) следует, что по мере увеличения величина монотонно стремится к нулю.

Возьмем произвольное и напишем

Заметим, что при должно быть

и

Пользуясь этими оценками и свойствами мы можем оценить первые два слагаемых в (15.24) справа:

и

Поэтому из (15.24) следует, что

Возьмем произвольное и выберем так, чтобы было — Назначим теперь настолько большим, чтобы выполнялось неравенство

, зависящее от — настолько близким к единице, чтобы выполнялось неравенство

Тогда в (15.26) левая часть может быть оценена как

и произвольность доказывает сходимость ряда (15.16). Выделенный условием (15.23) частный случай разобран.

Обратимся теперь к общему случаю. Положим

и (условно) Тогда при

так что

или, сдвигая на единицу нумерацию слагаемых во второй сумме справа, имеем

откуда

Рассмотрим теперь выражение которое мы представим в виде

Возьмем здесь произвольное и выберем в соответствии с настолько большим, чтобы при было . В этом случае с учетом (15.25) при любом будет

Далее, приближая х к единице, мы можем добиться того, чтобы было

Объединение (15.28) и (15.29) дает нам, что при значениях х, достаточно близких к единице

Следовательно, поскольку левая часть этого неравенства не зависит от ,

Равенство (15.27) дает нам поэтому

Но по условию суммируемости ряда левая часть равна здесь Поэтому

Рассмотрим теперь вспомогательный ряд

Для него мы имеем согласно (15.17)

так что мы оказываемся в условиях уже разобранного частного случая. Тем самым мы от (15.30) можем перейти к равенству

Наконец, мы имеем для любого

откуда

Здесь предел справа по условию равен нулю, и (15.31) дает нам

Таким образом, ряд (15.16) сходится в обычном смысле и сумма его равна .