§ 5. Комплексная форма интеграла Фурье

Вернемся к интегральной формулб Фурье (формула

и применим к имеющемуся в этой формуле косинусу формулу Эйлера (см. § 5 главы 7):

Мы получим

или

Здесь, как нетрудно убедиться подстановкой , интегралы, стоящие в правой части, равны друг другу. Поэтому

Полученная формула называется разложением функции в интеграл Фурье в комплексной форме.

Примеры.

1. Найдем интеграл Фурье в комплексной форме для уже рассмотренной нами в § 3 функции

В этом случае вычисление внутреннего интеграла в правой части формулы (11.16) дает нам

Поэтому формула (11.16) приобретает в данном случае следующий вид:

2. Разложим в интеграл Фурье в комплексной форме функцию (см. рис. 16):

Мы имеем

Последний интеграл является функцией от а. Обозначим его через и вычислим его.

Рис. 16.

Мы имеем

или, делая подстановку

мы получим

Продифференцируем это тождество по а. Ввиду того, что сходимость к пределу является по а равномерной в окрестности любого значения переменной а, дифференцирование под знаком предела законно. Мы имеем

Выполняя дифференцирование интеграла по верхнему и нижнему пределам, мы получаем

а вспоминая формулу (7.15) и переходя к пределу, будем иметь

Следовательно, первообразная функция должна быть постоянной:

В частности, должно быть

Вычислим интеграл Запишем его для этого дважды:

и перемножим почленно эти равенства. Мы получим

Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, мы имеем

откуда

Таким образом,

и искомым разложением в интеграл Фурье является