§ 12. Приближенное вычисление определенных интегралов при помощи степенных рядов
Вычислениями значений функций вычислительные при» ложения теории рядов далеко не исчерпываются. При помощи рядов можно вычислять определенные интегралы, а также находить решение дифференциальных уравнений.
Вычисление интегралов при помощи рядов можно комбинировать с обычными приемами интегрального исчисления.
Приведем несколько примеров.
Примеры.
1. Вычисление интегрального синуса:
(иногда под
понимают другую функцию, значение которой меньше указанного интеграла на
Мы имеем
этот ряд сходится как и предыдущий, при всех значениях
Следовательно,
Подставляя в ряд вместо х те или иные конкретные значения переменной, мы можем вычислять интересующие нас значения функции.
2. Вычислить
Подстановка
приводит этот интеграл к виду
откуда
Стоящий под знаком интеграла ряд сходится при всех у; поэтому
и, наконец,
Такое произведение степени переменного на степенной ряд от нее принято называть обобщенным степенным рядом. Иногда представление функции в виде обобщенного степенного ряда оказывается более удобным, чем ее представление в виде обычного степенного ряда.
3. Большое значение в теории вероятностей имеет интеграл
Для его вычисления заменим в формуле
на
Мы получим
На основании признака сходимости Даламбера и теоремы § 5 главы 6 этот ряд сходится равномерно в любом сегменте
. Поэтому интегрирование этого ряда законно и дает нам