§ 12. Приближенное вычисление определенных интегралов при помощи степенных рядов

Вычислениями значений функций вычислительные при» ложения теории рядов далеко не исчерпываются. При помощи рядов можно вычислять определенные интегралы, а также находить решение дифференциальных уравнений.

Вычисление интегралов при помощи рядов можно комбинировать с обычными приемами интегрального исчисления.

Приведем несколько примеров.

Примеры.

1. Вычисление интегрального синуса:

(иногда под понимают другую функцию, значение которой меньше указанного интеграла на

Мы имеем этот ряд сходится как и предыдущий, при всех значениях Следовательно,

Подставляя в ряд вместо х те или иные конкретные значения переменной, мы можем вычислять интересующие нас значения функции.

2. Вычислить

Подстановка приводит этот интеграл к виду

откуда

Стоящий под знаком интеграла ряд сходится при всех у; поэтому

и, наконец,

Такое произведение степени переменного на степенной ряд от нее принято называть обобщенным степенным рядом. Иногда представление функции в виде обобщенного степенного ряда оказывается более удобным, чем ее представление в виде обычного степенного ряда.

3. Большое значение в теории вероятностей имеет интеграл

Для его вычисления заменим в формуле на Мы получим

На основании признака сходимости Даламбера и теоремы § 5 главы 6 этот ряд сходится равномерно в любом сегменте . Поэтому интегрирование этого ряда законно и дает нам