§ 2. Геометрические прогрессии

Последовательность вида

называется геометрической прогрессией. При этом а называется первым членом прогрессии, ее знаменателем.

На месте в последовательности (1.1) должно стоять выражение Оно называется общим членом прогрессии (1.1). Полагая в этом выражении мы можем записать и вычислить любой член этой прогрессии. Если то все члены прогрессии (1.1) также будут равны нулю. Если то в нуль обращаются все члены прогрессии, начиная со второго. Эти малоинтересные случаи мы далее рассматривать не будем.

Геометрические прогрессии могут быть численные:

и функциональные:

Если в прогрессии (1.1) имеется только конечное число членов, т. е. если в ней существует последний член, то прогрессия называется конечной; в противном случае, если за каждым членом прогрессии следует еще хотя бы один член, то прогрессия называется бесконечной.

В случае конечной прогрессии

можно говорить о сумме всех ее членов

Для вычисления умножим почленно равенство (1.3) на знаменатель прогрессии

и вычтем почленно полученное равенство из равенства (1.3). В результате мы получим

Если при этом то отсюда следует

Если же то, как легко видеть, все члены прогрессии (1.2) равны друг другу, и сумма их, очевидно, равна