§ 4. Первая возможность ограничиться двукратным дифференцированием

В соответствии со сказанным в предыдущем параграфе естественно попытаться рассматривать такие соотношения, описывающие состояние деформированной балки, которые содержат производные от функции прогиба менее чем четвертого порядка. Такого типа соотношения существуют. Одно из них уже фактически имеется в нашем распоряжении — это равенство (17.12):

Пусть теперь на балку действует некоторая нагрузка приводящая к изгибающему моменту в каждой ее точке х. Найдем из соображений статики (в той мере, какой это нам удастся) аналитическое выражение для момента и разложим его в ряд Фурье на по синусам:

Если приложенная к балке нагрузка не содержит сосредоточенных моментов, то является непрерывной функцией х, так что ряд Фурье этой функции сходится к ней равномерно (см. § 6 главы 16). Впрочем, во многих конкретных случаях эта равномерная сходимость будет вытекать уже из признака Вейерштрасса (§ 7 главы 5).

Разложением функции прогиба от нагрузки пусть будет

Дифференцируя этот ряд почленно два раза (и запоминая, что- это дифференцирование накладывает на нас обязательство проверить впоследствии его законность), мы получаем

Подставим теперь в (17.21) вместо функций их разложения в ряды Фурье; мы будем иметь

Если оба эти ряда сходятся равномерно, то приравнивание, в соответствии со сказанным в § 13 главы 7, их коэффициентов дает нам

откуда

и окончательно

Вторые производные членов стоящего справа ряда пропорциональны соответствующим членам равномерно сходящегося ряда из (17.22). Следовательно, и этот ряд вторых производных сходится равномерно. Тем самым двукратное дифференцирование ряда из (17.23) законно.

Как будет видно из ближайших параграфов, описанная возможность находит довольно широкий круг приложений.