ГЛАВА 14. СУММИРОВАНИЕ СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

§ 1. Постановка вопроса

Выяснение сходимости того или иного ряда имеет для использования в теоретических и прикладных вопросах принципиальное значение: только сходящийся ряд мы можем понимать как «бесконечную сумму», а именно как предел последовательности его частичных сумм. Более того, в некоторых вопросах значение суммы ряда по сравнению с фактом его сходимости вообще не играет роли. Например, чтобы пользоваться некоторыми приемами для вычисления суммы знакопеременного ряда, важно быть уверенным в его абсолютной сходимости, т. е. в сходимости ряда модулей его членов (см. §§ 2 и 3 главы 4), однако значение суммы этого последнего ряда в этих рассуждениях никакого интереса не представляет. Аналогично в § 10 главы 5 в качестве условия почленной дифференцируемости функционального ряда в некоторой точке приводилась равномерная сходимость ряда производных его членов в какой-либо замкнутой окрестности этой точки, но значения суммы ряда производных в остальных точках окрестности были несущественными. Можно привести и другие примеры такого рода. Наконец, специфика данного курса часто требовала от нас заострять внимание именно на фактах сходимости рядов, а не на значениях их сумм.

Однако имеются вопросы (например, как в §§ 8 и 10 главы 7, связанные с вычислениями значений функций или констант), в которых важна не констатация сходимости ряда, а именно вычисление его суммы. В приложениях (например, технического характера) доля этих вопросов даже преобладает. Кроме того, если уж мы доказали наше право обращаться с суммой ряда, как с числом, то естественно, возникает вопрос и о величине этого числа.

Здесь следует предостеречь читателя от представления, согласно которому изображение числа в виде сходящегося ряда является как бы «неявным» и потому в каком-то смысле незавершенным и нуждающимся в преобразовании к более законченному виду. Но в каком смысле выражение следует предпочесть равной ему (как было установлено в § 11 главы 9) сумме ряда

или значение — сумме ряда

(см. § 11 главы 7)?

Очевидно, в пользу таких «замкнутых» выражений, как или , говорит доступность их приближенных значений. Большинство людей из числа получивших хоть какое-то образование, знает о числе хотя бы то, что оно «несколько больше трех». Для таких лиц описанная числом сумма ряда (14.1) будет представлять собой количество, «немного большее чем полтора». Вместе с тем при ее описании суммой ряда (14.1) величина числа не поддается столь непосредственной численной оценке, а требует еще некоторых подсчетов. Приближенное численное значение , может быть, не столь памятно многим, но его можно почерпнуть из достаточно распространенных таблиц. Этого, однако, нельзя сказать о значении суммы ряда (14.2). Поэтому факт равенства этой суммы числу может оказаться вполне содержательной информацией.

Таким образом, замена сумм рядов (14.1) и (14.2) соответственно числами или позволяет, прежде всего, дать количественную оценку этим суммам.

Вместе с тем, если для каких-либо расчетов оказывается нужным значение или более точное, чем имеющееся в реально доступных источниках, то его представление в виде суммы соответствующего ряда и вычисление как частичной суммы с достаточно большим числом членов позволит его получить с требуемой точностью. В этом смысле задание числа в виде ряда может оказаться «более явным».

Нелишним будет здесь заметить, что практикуемая достаточно часто запись вещественных чисел в виде

десятичных дробей, по существу, также является представлением вещественного числа некоторым рядом, а именно рядом

где — некоторое натуральное число, а суть целые числа из Всякое приближенное значение вещественного числа, записанного десятичной дробью с конечным числом знаков, является (если отвлечься от правил округления) просто частичной суммой этого ряда. Говорить, что именно такое десятичное представление числа является «самым явным» и «окончательным», едва ли правомерно. Лучше сказать, что часто оно оказывается наиболее наглядным. Часто, но не всегда. В связи с регулярным обращением к ЭВМ наглядными становятся и иные представления чисел. Если же, скажем, в результате физического эксперимента значение некоторой константы оказалось равным 1,64, то экспериментатор дорого бы дал, чтобы иметь право объявить его равным

Из сказанного вытекает, что суммирование ряда и представление числа в виде суммы ряда следует рассматривать как две стороны одного процесса: сопоставления различных форм представления одного и того же числа. При этом целью такого сопоставления в зависимости от ситуации может быть как разложение заданного числа в ряд, так и суммирование заданного ряда.

Существенную при этом роль играет следующее обстоятельство. Одно и то же число может быть представлено в виде сумм рядов, весьма сильно отличающихся друг от друга по внешнему виду. Чтобы не выходить из круга уже приводившихся примеров, укажем на ряды из формул (7.21) и (7.22), описывающие или на рады из формул (7.32) и (7.34), описывающие Ясно, что вторые из этих рядов значительно удобнее для проведения вычислений, чем первые: при их использовании для достижения нужной точности можно ограничиться учетом значительно меньшего числа членов.

Поэтому нахождение сумм сходящихся рядов часто оказывается удобным расчленять на два этапа. Во-первых, данный ряд следует преобразовать в другой,

вспомогательный ряд, сумма которого известна или поддается эффективному вычислению. Во-вторых, — по сумме вспомогательного ряда найти сумму исходного ряда.

Далее мы приведем несколько таких преобразований.