ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ

§ 1. Уравнение свободных малых колебаний струны

Пусть мы имеем дело с гибкой упругой струной. Струна будет считаться тонкой, т. е. ее поперечные размеры принимаются пренебрежимо малыми по сравнению с ее длиной. Гибкость струны означает, что напряжение в ней может быть направлено только вдоль струны. Упругость струны означает, что процесс ее деформаций обратим, т. е. что при нем не происходит потери энергии.

Рис. 12.

Пусть длина струны равна а в состоянии равновесия струна прямолинейна и расположена вдоль оси между точками Если вывести струну из состояния равновесия, подвергнув ее действию какой-нибудь силы, то струна начнет колебаться. Будем считать, что движение всей струны происходит в одной плоскости и что каждая ее точка движется перпендикулярно оси Смещение точки струны с координатой х в момент времени будем обозначать через и или просто через и. Предположим далее, что все деформации струны малы. Под этим мы будем понимать, что малы как смещения и каждого из элементов струны, так и их повороты их.

Рассмотрим элемент струны (см. рис. 12), который в положении равновесия имеет концами точки Пусть в результате отклонения струны в некоторый момент времени этот элемент переходит в положение

Очевидно, длина элемента равна

что в предположении малости угла поворота элемента (и тем самым тангенса этого угла) приближенно равно

Рассмотрим воздействие на элемент равнодействующей вертикальных составляющих сил натяжения Т, действующих на его концы. Эти силы действуют в направлении касательных к струне. Обозначим углы, образуемые этими касательными с осью через Тогда вертикальная составляющая равнодействующей этих двух сил натяжения будет равна

Ввиду малости углов мы можем синусы заменить тангенсами:

Но тангенсы углов наклона касательных равны производным:

Сила инерции, действующая на элемент очевидно равна

где — масса единицы длины струны. На основании (10.1) и (10.2) мы согласно закону Ньютона можем написать

или, деля обе части этого равенства на и переходя к пределу при

Обозначив, наконец, отношение через мы получим уравнение

которое и называется уравнением свободных колебаний струны.