§ 2. Определение числового ряда и его сходимости

Пусть теперь

— бесконечная последовательность чисел, которые могут быть как вещественными, так и комплексными.

Определение. Выражение

называется рядом (в данном случае — числовым рядом), а элементы последовательности — членами ряда.

Иногда для обозначения ряда (2.2) применяют следующую запись:

(читается: что сумма по от 1 до

Очевидно, что совершенно несущественно, какой номер мы будем приписывать первому по порядку члену последовательности (2.1) и ряду (2.2). В частности, иногда оказывается удобным начинать нумерацию членов ряда с нулевого члена. Тогда ряд (2.2) приобретет вид

или

Поскольку выражение (2.2) для ряда рассматривается как единое целое, для его задания необходимо задать каждый его член Обычно член ряда описывается как некоторая функция от своего номера. Аналитическое выражение этой функции часто называют «общим» членом ряда. Например, «общим» членом геометрической прогрессии является

Само по себе выражение (2.2) никакого определенного смысла не имеет, потому что действие сложения в своем непосредственном содержании имеет дело каждый раз лишь с конечным числом слагаемых. Этот смысл выражению (2.2) предстоит приписать нам самим. Очевидно, это следует сделать так, чтобы «бесконечная сумма» (2.2), с одной стороны, была бы «похожа» на обычные суммы,

а с другой, - описывала бы на языке математического анализа те или иные реальные факты и помогала бы решать задачи. Из последней фразы видно, что в определении смысла выражения (2.2) содержится некоторый произвол: мы можем по-разному понимать сумму (2.2). формулировки различных таких пониманий и сопоставления их друг с другом представляют большой интерес, как теоретический, так и практический. Мы однако, в первой части курса ограничимся рассмотрением только одной такой формулировки, пожалуй, наиболее естественной.

Определение. Сумма первых членов ряда (2.2)

называется частичной суммой этого ряда.

Очевидно, первая, вторая, третья и т. д. частичные суммы ряда

составляют бесконечную последовательность.

Определение. Ряд (2.2) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел:

Значение этого предела называется суммой ряда (2.2).

Определение. Ряд (2.2) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм предела не имеет (в частности, если члены последовательности частичных сумм неограниченно возрастают по модулю).

Содержание теории числовых рядов состоит в установлении сходимости или расходимости тех или иных рядов и в вычислении сумм сходящихся рядов.

В принципе можно доказывать сходимость или расходимость каждого ряда, а также вычислять сумму сходящегося ряда, опираясь непосредственно на определения сходимости и суммы. Именно, в каждом случае можно попытаться составить аналитическое выражение для частичной суммы ряда и найти предел этого выражения при возрастании

Примеры.

1. Для ряда

n-я частичная сумма

и

так что этот ряд сходится, и сумма его равна 1,

2. Для ряда

частичная сумма

Последовательность частичных сумм

очевидно, неограниченно возрастает, так что этот ряд расходится и о его сумме говорить нельзя.

3. Для ряда

всякая частичная сумма с четным номером равна нулю, а всякая сумма с нечетным номером — единице.

Последовательность частичных сумм этого ряда

хотя и ограничена, но не имеет предела. Следовательно, этот ряд так же расходится и не имеет суммы. Его можно назвать колеблющимся. Подчеркнем, что 0 и 1 в последовательности частичных сумм встречаются бесконечное число раз; однако ни одно из этих чисел не является пределом этой последовательности и не может считаться суммой ряда.

Сделаем, однако, два замечания:

Во-первых, только что описанный «естественный» путь часто оказывается весьма неудобным из-за трудности явного вычисления частичных сумм ряда и нахождения предела их последовательности.

Во-вторых, нередко при исследовании рядов значения частичных сумм не представляют интереса и после решения задачи превращаются в «отходы производства». Более того, иногда не нужна даже сумма ряда, а все исследования ведутся лишь ради установления самого факта сходимости или расходимости ряда.

Ввиду сказанного представляют интерес методы анализа рядов, приводящие к их суммам непосредственно, минуя вычисление частичных сумм. Точно так же оказываются полезными приемы, позволяющие констатировать сходимость ряда без нахождения его суммы.

Например, если все члены ряда

положительны, то последовательность его частичных сумм

является возрастающей. Поэтому для существования у этой последовательности предела, и тем самым для сходимости ряда, необходимо и достаточно, чтобы все частичные суммы были ограничены в совокупности, т. е. чтобы нашлось такое число М, что при любом Нахождение такой верхней границы для последовательности всех частичных сумм сходящегося ряда иногда оказывается совсем простой задачей, как в примере 1, а иногда и более сложной.

Пример. Возьмем произвольное и рассмотрим ряд

Частичные суммы этого ряда с ростом возрастают. Поэтому

откуда

Таким образом, переменная является ограниченной и потому Должна иметь предел, являющийся суммой ряда (2.3), который тем самым сходится. Ясно при этом, что сумма ряда (2.3) не может превосходить числа

Заметим, что при проведенное рассуждение уже не проходит. В § 2 главы 3 мы увидим, что при ряд (2.3) расходится.

Приемам и методам такого рода посвящена значительная часть данного курса.