ВВЕДЕНИЕ
Мы каждый раз сталкиваемся с предметом математического исследования, когда нам приходится изучать пространственные формы и количественные закономерности окружающего нас мира. В математике рассматриваются разнообразные общие методы таких исследований. К их числу относятся и возникшие из арифметики алгебраические дгетоды.
Основные понятия арифметики прошли длительный путь развития. Потребности счета предметов привели к одному из самых ранних понятий — к понятию натурального числа. Из задач измерения расстояний, площадей, объемов, промежутков времени возникли числа дробные и иррациональные. Под влиянием необходимости производить расчеты появилась арифметика, а затем и алгебра. Развитие арифметики и алгебры потребовало введения чисел относительных и комплексных. Одновременно с расширением понятия числа расширялся и смысл арифметических операций. Так, сложение натуральных чисел сводится к последовательному пересчету единиц, содержащихся в этих числах; сложение дробей основывается на сложении и умножении целых чисел:
сложепие же иррациональных чисел представляет собой сложный процесс последовательных приближений.
Таким образом, для каждого рода чисел арифметические операции имеют свой особый смысл. И тем не менее мы знаем, что в элементарной алгебре числа обозначают буквами, независимо от характера этих чисел, и изучают действия над числами независимо от конкретного содержания этих действий. Основой для таких отвлечений является общность арифметических законов, которым
подчиняются действия над числами независимо от их природы. Такими общими арифметическилш законами являются законы сочетательности:
законы переместительности:
закон распределительности:
Эти законы образуют тот фундамент, на котором строится и теория алгебраических преобразований, и методы решения алгебраических уравнений, т. е. строится вся злемептарпая алгебра.
В начале прошлого века после построения теории комплексных чисел могло казаться, что развитие понятия числа достигло своего завершения, а вместе с тем вполне определилась и область применимости арифметических операций и вытекающих из них алгебраических методов. Однако очень быстро обнаружилось, что самые разнообразные операции, производимые в алгебре, геометрии, механике, физике над различными объектами нечисловой природы, также подчиняются основным закопам обычной арифметики. Эти объекты можно рассматривать как «алгебраические величины», к которым применимы алгебраические методы изучения. Таким образом, предмет алгебры чрезвычайно расширился. С современной точки зрения можно сказать, что алгебра занимается изучением систем объектов любой природы, над которыми установлены операции, сходные по своим закономерностям с арифметическими действиями над числами.
Изучением одной из таких систем и занимается векторная алгебра. Она возникла под влиянием задач геометрии и механики, а затем получила широкое развитие в связи с учением об электричестве и магнетизме.
В физике очень часто приходится иметь дело с величинами, которые характеризуются не только своим числовым значением, но и своим направлением в пространстве. К таким величинам относятся скорость, ускорение, сила, напряженность магнитного поля и т. д. Векторная
алгебра и имеет предметом изучепия системы направленных величин и выполняемых над пими операций.
Направленные величины в математике и физике уже давно стали изображать направленными отрезками, и для решения физических задач стали применять геометрические построения. Так, уже в самом начале XVII века механики пользовались изображением сил в виде отрезков и употребляли правило параллелограмма для определения равнодействующей. Однако векторное исчисление в современном смысле возникло сравнительно недавно, когда были открыты операции над векторами, которые, с одной стороны, подчиняются законам арифметики, а с другой — отражают объективно существующие соотношения между конкретными направленными величинами в геометрии и механике.
Основы векторного исчисления были построены в середине XIX века ирландским математиком и астрономом Гамильтоном (1805—1865) и немецким математиком Грассманом (1809—1877), которые различными путями пришли к открытию векторных операций. Новые идеи не сразу получили распространение и признание. Прежде всего, недостаточно ясна была их практическая ценность: в середине XIX века еще не сформировались те физические теории, в развитии которых векторное исчисление сыграло затем существенную роль. Кроме того, сами работы Гамильтона и Грассмапа отличались туманностью изложения, представляя большие трудности для изучения.
Непосредственным толчком для распространения и интенсивного развития векторного исчисления было построение Максвеллом (1831—1879) теории электромагнитного поля (1873), в которой идеи векторного исчисления играли решающую роль. Этот факт привлек внимание многих ученых, и в их трудах векторное исчисление приобрело к началу текущего столетия современную форму.
В настоящее время на основе векторного исчисления строятся все современные курсы теоретической механики, аэрогидромехапики, теории электричества, аналитической и дифференциальной геометрии и т. д. Широкое
применение векторного исчисления объясняется рядом его свойств.
Во-первых, векторные представления адекватно передают суть многих понятий и закономерностей геометрии и физики.
Во-вторых, в векторном исчислении достигается единство аналитического и геометрического методов исследования, благодаря чему векторные формулы и выводы отличаются сжатостью, ясностью и наглядностью.
В-третьих, векторные формулы, выражающие физические закономерности, не зависят от выбора той или иной координатной системы, т. е. имеют инвариантный характер и отражают сущность явления в чистом виде.
Благодаря своим качествам векторное исчисление вошло в обиход математиков, физиков и техпиков как полезный математический метод.
В связи с запросами физики в начале текущего столетия трудами многих ученых было создано тензорное исчисление, охватывающее теорию векторов. Одно время считалось, что круг замкнулся и дальнейшее принципиальное развитие идей в этом направлении закончилось. Однако развитие пауки в последние десятилетия доказало противное. На базе синтеза идей алгебры, анализа и геометрии возникли новые отрасли математики — функциональный анализ, теория представлений непрерывных групп, исчисление геометрических объектов и т. д. Эти новые отрасли математики, обобщающие и широко использующие идеи и методы векторного исчисления, тесно сомкнулись с проблемами новейшей физики.
В пашем курсе мы принуждены будем ограничиться лишь тем элементарным векторным исчислением, которое является теоретической базой для механики, гидромеханики и теории электричества.
