2. Площадь области на поверхности.

Рассмотрим на правильно параметризованной поверхности

некоторую область и соответствующую ей область (а на плоскости параметров (рис. 125). Разобьем область произвольным снособом на частей Одновременно разобьется на соответствующие части и область (а на плоскости параметров. На каждой частичной области зафиксируем произвольно точку которую назовем опорной точкой. Переместимся из нее в произвольную точку рассматриваемой частичной области :

и составим соответствующий этому перемещению

дифференциал радиуса-вектора:

Если начало этого дифференциала поместить в опорную точку то он будет лежать в касательной плоскости в этой точке, а его конец будет определять в касательной плоскости точку которую мы назовем изображением смещенной точки (рис. 126).

Рис. 125.

Таким образом, все точки частичной области поверхности взаимно однозначно отобразятся на некоторую плоскую область расположенную в касательной плоскости. Мы назовем ее чешуйкой, покрывающей частичную область .

Определение. Площадью а области на поверхности называется предел суммы площадей чешуек покрывающих частичные области на которые разбита исходная область при условии, что число частичных областей

Рис. 126.

неограниченно растет, а максимум диаметров чешуек стремится к нулю:

Покажем, что определеппая таким образом величина площади о не зависит ни от способа разбиения области на частичные области, ни от выбора опорных точек, ни от параметризации поверхности.

А. Сначала вычислим площадь чешуйки Если за начало принять опорную точку то радиусом-вектором текущей точки чешуйки будет дифференциал (11.40):

Его частное дифференцирование по текущим параметрам дает

Вследствие этого по формуле (11.39) для площади плоской области находим

т. е.

где — площадь плоской частичной области являющейся изображением на плоскости параметров частичной области поверхности, а следовательно, и покрывающей ее чешуйки

Б. Подставив найденное выражение для площади в формулу (11.41), определяющую площадь поверхности, получим

Таким образом, площадь а поверхности выражается пределом интегральной суммы. Этот предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора опорных точек на соответствующих частичных областях и равен двойному интегралу

Здесь область интеграции есть область изменения переменных на плоскости параметров и к (см. рис. 125). Она является образом области при ее взаимно однозначном отображении на плоскость параметров Поэтому в качестве области интеграции можпо указать эту исходную область вместо ее

Формула (11.44), или, что то же, (11.45) для вычисления площади области поверхности называется формулой компланации.

В. Покажем теперь, что определяемая формулой компланации площадь куска поверхности зависит от параметризации поверхности. Действительно, положим

Тогда (см. (11.36))

Следовательно, воспользовавшись правилом преобразования интеграла к новым аргументам, мы получим

т. е. для а получилась в новых параметрах прежняя формула.