Глава X. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ
§ 1. Скорость и ускорение точки
1. Скорость точки.
Радиус-вектор 
точки 
движущейся в пространстве, является функцией времени:
Его можно рассматривать также как функцию от дуги 
траектории, которую описывает точка 
(рис. 111):
Рис. 111.
В этом случае длина дуги 
играет роль промежуточного аргумента, который сам зависит от времени:
Как уже отмечалось выше (см. (7.10)), скорость 
точки 
есть производная ее радиуса-вектора по времени, т. е.
или
Но 
; поэтому
Итак, скорость изображается вектором, направленным по касательной к траектории, модуль которого равен абсолютной величине производной от длины дуги по времени:
2. Ускорение точки.
Ускорение 
точки определяется как предел отношения приращения скорости к приращению времени, когда приращение времени стремится к нулю:
Следовательно, ускорение есть производная от скорости по времени:
Воспользовавшись для скорости у найденным выше выражением (10.5), мы получим
Но
В силу этого
Мы видим, что ускорение изображается вектором, компланарным векторам 
т. е. вектором, расположенным
в соприкасающейся плоскости. Проекции 
этого вектора на касательную и главную нормаль определяются формулами
Итак, проекция ускорения на касательную равна второй производной от дуги по времени; проекция ускорения на главную нормаль равна произведению кривизны траектории на квадрат скорости точки.
