§ 4. Эволюта

1. Определение.

Эволютой кривой называется геометрическое место центров кривизны этой кривой.

Чтобы получить уравнение эволюты, рассмотрим на исходной кривой текущую точку и соответствующий ей центр кривизны (рис. 108). Имеем Но радиус-вектор текущей точки кривой, радиус-вектор соответствующего центра кривизны, т. е. текущей точки эволюты, вектор, соединяющий точку с соответствующим центром кривизны Таким образом,

Это и есть формула, определяющая радиус-вектор текущей точки эволюты как функцию от параметра I, т. е. это и есть уравнение эволюты.

2. Свойства эволюты.

В качестве параметра возьмем дугу исходной кривой. Исходя из уравнения эволюты (9.13),

Отсюда, использовав дифференциальные уравнения (9.5), получим

поэтому

Из полученной формулы вытекают два следующих заключения.

а) Вектор направленный по касательной к эволюте, коллинеарен вектору т. е. касательная к эволюте совпадает с нормалью к исходной кривой (рис. 109).

Рис. 109.

б) Сравнив модули обеих частей соотношения (9.14), мы получим

Но равен абсолютной величине дифференциала дуги эволюты; следовательно, .

Выберем направление отсчета дуг на исходной кривой так, чтобы с возрастанием дуги возрастал радиус кривизны

Мы ограничимся отрезком кривой, на котором меняется монотонно и не имеет экстремумов. Тогда будут совпадать не только по абсолютной величине, но и по знаку:

Отсюда следует:

где С — константа.

Рассмотрим на исходной линии дугу . В концах этой дуги будем иметь

Отсюда найдем

Итак, разность радиусов кривизны исходной кривой в двух ее точках равна длине дуги эволюты, заключенной между соответствующими точками.

Найденные свойства эволюты приводят к следующему способу построения исходной кривой по ее эволюте. На эволюту наматывают нить, которую затем начинают сматывать в натяпутом состоянии; тогда фиксированная точка этой нити и опишет исходную кривую.

3. Уравнения эволюты в координатной форме.

Спроектировав векторное уравнение эволюты (9.13)

на координатные оси, получим систему уравнений эволюты в координатной форме

где координаты текущей точки эволюты, а х, у — координаты текущей точки исходной линии, являющиеся известными функциями параметра Таким образом, дело сводится к вычислению Имеем

Отсюда находим

Вычислив дифференциал этого выражения, выполнив необходимые преобразования и разделив на найдем

Отсюда получим

Учитывая, что найдем

Следовательно,

Таким образом, окончательно систему уравнений эволюты (9.19) можно переписать так: