6. Гексаэдр с треугольными гранями.

Такой гексаэдр (шестигранник) состоит из двух тетраэдров и с общим основанием (рис. 77). Оба эти тетраэдра вполне определяются четырьмя векторами:

Через них и будут выражаться все инварианты гексаэдра. Пусть, например, заданы длины сторон гексаэдра, исходящих из вершины О, и углы между этими векторами.

Рис. 77.

Попарные скалярные произведения векторов через которые выражаются все инварианты гексаэдра, находятся в рассматриваемом случае очень просто:

Исключение составляет произведение Это произведение можпо определить по формуле (5.25)

где смешанные произведения «находятся по формуле (4.37).

Пример. Рассматривается гексаэдр треугольными гранями (рис. 78). Заданы длины ребер,

исходящих из вершины О, и углы при этой вершине:

Требуется иайти расстояние между вершинами и угол . Так как

и

то для решения того и другого вопросов нужно найти произведение По формуле

Смешанные произведения, стоящие в левой части этого уравнения, найдем по формуле (4.37)

Так как вершины лежат по разные стороны от плоскости векторов a и b, то одна из троек векторов а, b, с и правая, а другая левая. Это значит, что произведение неположительно. Следовательно,

Рис. 78.

Правую часть уравнения (6.93) преобразуем так:

результаты, получим уравнение

из которого пайдеи

Отсюда находим