5. Бинормаль и кручение. Третья основная формула.
Прямая, перпендикулярная к касательной и к главной нормали в данной точке, называется бинормалью.
Перемножив векторно орт касательной 
и орт главной нормали 
мы получим орт бинормали, который
обозначим 
Орт бинормали 
является инвариантным геометрическим понятием. Таким же понятием является и его производная по дуге 
Поэтому она должна иметь определенный геометрический смысл. Его выяснением мы и займемся.
а) Исследуем сначала направление производной 
Продифференцировав тождество
мы получим
откуда следует, что вектор перпендикулярен к вектору 
Продифференцировав тождество
мы получим
Но 
и потому 
Следовательно,
А это значит, что вектор перпендикулярен к вектору 
Итак, вектор перпендикулярен к векторам 
Следовательно, он коллинеарен орту главной нормали 
и отличается от него лишь некоторым скалярным множителем, который мы обозначим К:
б) Выясним теперь геометрический смысл скалярного коэффициента 
Из формулы (8.41) следует:
Рассмотрим (рис. 99) орты бинормалей 
соответственно в данной точке 
и 
соответственно в данной точке 
и в бесконечно близкой точке 
Обозначим угол между этими ортами через 
Приращение 
орта бинормали 
является основанием равнобедренного треугольника с единичными боковыми сторонами 
и углом 
вершине. Поэтому
В силу этого и формулы (8.42) мы получаем
Итак,
Но предел отношения угла 
поворота бинормали (соприкасающейся плоскости) при переходе из данной точки 
в бесконечно близкую точку к длине 
дуги, заключенной между этими точками, есть абсолютная величина кручения кривой. При этом кручение считается положительным, если при движении вдоль линии соприкасающаяся плоскость совершает правовинтовое движение, и отрицательным, если левовинтовое.
Итак, абсолютная величина скаляра X есть абсолютная величина кручения.
Установим теперь геометрический смысл зпака скаляра 
Если скаляр X отрицателен, то вектор 
направлен в сторону, противоположную 
(рис. 100, а). Отсюда следует, что при движении в направлении 
вектор
Рис. 99.
Р будет совершать правое и нтовое движение. Если скаляр X положителен, то движение будет, очевидно, левовинтовое (рис. 100, б).
Рис. 100.
А это значит, что знакскаляра X противоположен знаку кручения 
Следовательво, 
Поэтому (8.41) можно переписать так:
Это и есть третья основная формула дифференциальной геометрии линии в пространстве.
Умножив скалярно на 
обе части третьей основной формулы (8.43), мы получим следующую формулу для вычисления кручения:
