§ 2. Основные теоремы о скалярных проекциях

1. Первая теорема о проекциях.

Проекция вектора а на ось равна произведению модуля вектора а на косинус угла между вектором и осью, т. е.

или

Доказательство. Прежде всего заметим, что если вектор а перпендикулярен оси то его проекция равна пулю и косинус угла равен нулю; следовательно, в этом случае теорема верпа.

Пусть теперь вектор а образует острый угол с осью (рис. 29). Через начало А и конец В вектора проведем проектирующие плоскости. Их точки пересечения

с осью будут соответственно проекциями точек т. е.

Через начало А проведем прямую, параллельпую оси до пересечения в точке С с проектирующей плоскостью конца В.

Рис. 29.

Рис. 30.

Очевидно,

Треугольник прямоугольный, причем

Следовательно,

т. е.

Пусть, наконец, вектор а образует тупой угол с осью (рис. 30). Повторяя аналогичные построения и рассуждения, мы получим

Следовательно,

Теорема доказана во всех случаях.

Следствие 1. Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Следствие 2. Проекции двух взаимно противоположных векторов на одну и ту же ось отличаются только

знаком:

Действительно, если а образует угол с осыо то —а образует с пей угол (рис. 31). Поэтому

2. Вторая теорема о проекциях.

Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:

Рис. 31.

Доказательство. Слагаемые векторы расположим так, чтобы начало последующего слагаемого совпадало с концом предыдущего. Получится многоугольник (рис. 32).

Рис. 32.

Его замыкающий вектор, т. е. вектор соединяющий начало А первого слагаемого а с концом И последнего слагаемого будет суммой рассматриваемых векторов:

Спроектируем построенный многоугольник на

произвольно взятую ось . Векторные проекции слагаемых векторов расположатся так, что начало последующей будет совпадать с концом предыдущей (рис. 32). Поэтому вектор соединяющий начало первой векторной проекции с концом последней, будет равен сумме всех векторных проекций:

С другой стороны, этот вектор является векторной проекцией замыкающего вектора

Сравнив оба выражения для вектора мы получим

По доказанной теореме векторная проекция вектора на ось равна произведению орта оси на скалярную проекцию вектора на эту ось. Поэтому полученное равенство можно переписать так:

или

Но два произведения орта на скалярные множители будут одинаковыми тогда и только тогда, когда одинаковы эти скалярные множители. Поэтому

Теорема доказана.

3. Третья теорема о проекциях.

Проекция произведения скаляра ни вектор равна произведению этого скаляра на проекцию вектора на ту же осы.

Доказательство. Обозначим через угол между вектором а осью и будем пользоваться первой теоремой о проекциях.

Если , то вектор образует с осью тот же угол Следовательно, в этом случае

Если то вектор образует с осью угол Следовательно, в этом случае

Таким образом, теорема верна во всех случаях (при она очевидна).

Следствие из теорем Проекция линейной комбинации векторов равна той же линейной комбинации их проекций,