§ 3. Формула Тейлора

1. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производная векторной функции скалярного аргумента является векторной функцией того же аргумента, которую опять можно дифференцировать. Как и в обычном анализе, производная от производной называется производной второго порядка и обозначается производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается

Аналогичным путем определяются дифференциалы второго порядка, третьего порядка и т. д.:

2. Формула Тейлора.

Векторную функцию скалярного аргумента разложим по координатным ортам:

Предположим, что при данном значении аргумента скалярные функции обладают производными до порядка включительно. Тогда к ним можно применить формулу Тейлора:

причем

Умножив эти равенства соответственно на и сложив, получим

Это и есть формула Тейлора для векторной функции. Положив

мы представим формулу Тейлора в виде

причем

Заметим, что формулу Тейлора можно записать и в дифференциальной форме