Глава XIX. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

§ 1. Криволинейные координаты

1. Система криволинейных координат.

При помощи декартовой системы координатных осей каждой точке пространства сопоставляется тройка чисел — тройка ее декартовых координат. Обратно, каждой тройке координат соответствует определенная точка пространства. Такое соответствие между точками и тройками чисел может осуществляться не только при помощи декартовой системы координатных осей. Например, положение точки над поверхностью Земли очень удобно определять ее расстоянием от центра Земли и двумя географическими координатами — широтой и долготой. Общую идею введения координатной системы в пространстве или в некоторой его области можно сформулировать следующим образом. Ввести систему координат в некоторой области пространства — это значит каким-либо способом установить взаимно однозначное соответствие между точками этой области и системами значений трех переменных величин из некоторой области их изменения. Значения этих трех переменных величин соответствующие данной точке пространства, называются криволинейными координатами этой точки Причина такого названия выяснится ниже.

Декартова система координат, которой мы до сих пор пользовались, может рассматриваться как простейшая и с многих точек зрения наиболее естественная система криволинейных координат. Однако для решения ряда специальных вопросов теории электромагнитного поля, гидромеханики и т. д. приходится пользоваться и другими координатными системами.

2. Отображение, устанавливаемое системой криволинейных координат.

Предположим, что в рассматриваемой области пространства каким-либо способом введена система криволинейных координат (рис. 189).

Вне связи с исходной областью построим вспомогательную декартову систему координатных осей и будем рассматривать криволинейные координаты

как декартовы координаты в этой вспомогательной системе (рис. 190).

Задав точку в исходной области мы определим ее криволинейные координаты По ним, как по декартовым координатам, построим точку в системе Эту точку будем называть изображением исходной точки

Рис. 189.

Рис. 190.

Если исходная точка будет пробегать всю область то ее изображением будет пробегать некоторую область, которая и является наглядным изображением области (У изменения криволинейпых координат Обратно, задав точку в области мы определим ее декартовы координаты во вспомогательной системе т. е. определим криволинейные координаты точки, а значит, и саму точку в исходной области

Таким образом, задание системы криволинейных координат в области пространства всегда можно истолковывать как задание взаимно однозначного отображения этой области в некоторую область отнесенную к декартовой системе координат

Чтобы оформить это отображение аналитически, мы исходную область также отнесем к какой-либо декартовой системе координатных осей Охуъ (рис. 189). Тогда тройке значений криволинейных координат будет соответствовать тройка значений х, у, z декартовых координат и обратно. Это значит, что в рассматриваемых

областях переменные являются функциями от переменных

Обратно, переменные являются функциями от переменных

Обратим внимание на то обстоятельство, что если в некоторой области пространства введена декартова система координат и формально определено взаимно однозначное преобразование (19.1) декартовых координат х, у, z в новые переменные из некоторой области изменения, то эти новые переменные могут рассматриваться как криволинейные координаты в рассматриваемой области