§ 6. Кратный интеграл как предел обобщенной интегральной суммы

1. Введение единых обозначений для записи интегральной суммы.

Теории двойных и тройных интегралов буквально повторяют друг друга и в конечном счете повторяют теорию определенного интеграла. Вследствие этого возникает естественная потребность ввести единые обозначения, которые бы без всякого изменения применялись в теории интегралов различных кратпостей и которые бы, в частности, позволили единообразно формулировать основную теорему об интеграле. С введения этих обозначений мы и пачнем.

Рассмотрим область отнесенную к прямоугольной декартовой системе координат. Эта область может быть одномерной (прямолинейный отрезок), двумерной (плоская площадка) и трехмерной (тело). Будем обозначать через меру области т. е. соответственно длину, площадь или объем.

Пусть в области определена пекоторая функция, имеющая в каждой точке этой области определенное значение . В соответствии с числом измерений области эта функция будет зависеть от одного, двух или трех аргументов, являющихся координатами точки области

Интеграл от функции распространенный по области во всех трех случаях мы будем обозначать одинаково:

Этот интеграл будет определенным, двойным или тройным в зависимости от числа измерений области

Разобьем область произвольным способом на частичных областей Зафиксируем в этих областях произвольные опорные точки и составим интегральную сумму:

Если функция непрерывна на области включая ее границу, и если число частичных областей неограниченно увеличивается так, что максимальный диаметр частичных областей неограниченно убывает, то в силу основной теоремы предел интегральной суммы будет равен интегралу, распространенному по области

Полученная формула и выражает основную теорему для интеграла любой кратности в унифицированных обозначениях. Для дальнейших приложений этой основной теоремы нам придется ее несколько обобщить. К этому мы и перейдем.