5. Кривизна.

Рассмотрим на линии точку и касательную в ней (рис. 93). При переходе в соседнюю точку М касательная повернется на некоторый угол

Рис. 92.

Рис. 93.

Отношение этого угла к длине дуги называется средней кривизной дуги Оно характеризует в среднем степень изогнутости дуги Ясно, что дуга в различных своих точках может быть изогнута различно. Однако чем меньше дуга тем точнее средняя кривизна определит степень изогнутости в каждой точке этой дуги.

Определение. Кривизной К линии в данной точке называется предел отношения угла поворота касательной при переходе из данной точки в бесконечно близкую точку к бесконечно малой длине дуги, заключенной между этими точками:

В качестве примера найдем кривизну окружности радиуса (рис. 94). Для этого возьмем на пей две точки

и Угол между касательными к окружности равен углу между радиусами и проведенными в точки касания. С другой стороны, длина дуги окружности равна произведению радиуса на радианную меру центрального угла, опирающегося на эту дугу:

Поэтому

Итак, кривизна окружности в любой ее точке есть величина, обратная радиусу окружности: