§ 2. Векторные линии

1. Векторной линией называется такая линия векторного поля, в каждой точке которой вектор ноля касается линии.

Понятие о векторной линии возникает как обобщение линии тока в стационарном потоке жидкости, т. е. линии, но которой движется частица жидкости такого потока. Хорошо известными примерами векторных линий являются также силовые линии магнитного и электрического полей.

2. Система дифференциальных уравнений векторных линий.

Пусть уравнение векторной линии имеет вид

По условию в каждой точке этой линии вектор поля К направлен по касательной к пей (рис. 153). Производная также направлена по касательной.

Рис. 153.

Следовательно, векторы как коллипеарные векторы, связаны

линейной зависимостью

или

Это и есть параметрическое дифференциальное уравнение векторных линий в векторной форме.

Спроектировав полученное уравнение на координатные оси, мы получим

Исключение из этой системы приводит к следующей системе дифференциальных уравнений векторных линий:

Если эту систему двух уравнение проинтегрировать, то получим систему двух конечных уравнений с двумя произвольными постоянными:

Следовательно, через каждую точку пространства пройдет, вообще говоря, единственная векторная линия

3. Пример.

Рассмотрим векторное поле

Система дифференциальных уравнений векторных линий принимает вид

Составляем производную пропорцию

Отсюда следует

Составляем теперь другую производную пропорцию

из которой

Таким образом, мы получаем систему следующих двух уравнений:

Проинтегрировав эти уравнения, мы найдем

Рис. 154.

Следовательно, векторные линии получаются в результате пересечения всевозможных сфер, имеющих общий центр в начале координат, с всевозможными плоскостями, перпендикулярными вектору т.е. векторные линии суть окружности. Центры этих окружностей находятся на нрямой, проходящей через начало О в направлении вектора Плоскости же окружностей перпендикулярны указанной прямой (рис. 154).

Замечание. Вектор рассматриваемого поля имеет вид

или

т. е.

Следовательно, рассматриваемое поле есть поле скорости точек твердого тела, вращающегося вокруг начала с постоянной угловой скоростью