5. Элемент объема.
Элементом объема в криволинейных координатах 
называется объем 
параллелепипеда, построенного на частных дифференциалах 
диьг радиуса-вектора 
текущей точки 
ее криволинейным коордипатам (рис. 193).
Рис. 193.
Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Поэтому для элемепта объема 
получается формула
или
Замечание 1. Введем в пространстве декартову систему координат 
и разложим радиус-вектор 
текущей точки по ортам осей:
Вычислим частные производные
Пользуясь координатной формулой для смешанного произведения, представим элемент объема в криволинейных координатах в следующей форме:
или, в краткой записи (ср. (11.32)),
Таким образом, элемент объема в криволинейных координатах равен абсолютной величине определителя преобразования (якобиапа) декартовых координат в криволинейные, умноженной на произведение дифференциалов криволинейных координат.
Замечание 2. Из формулы (19.11) следует, что элемент объема в декартовых координатах записывается так:
Замечание 3. Выразив смешаппое произведение в (19.9) через скалярные произведения 
мы получим выражепие элемента объема через коэффициенты 
фундаментальной формы 
пространства:
Замечание 4. Формула
преобразования тройного интеграла к новым переменным может быть переписана так:
Как мы видим, при преобразовании тройного интеграла к новым переменным декартов элемент объема заменяется элементом объема в криволинейных координатах.
Теорема. Если дифференциалы 
криволинейных координат 
бесконечно малы, то элемент объема 
отличается на величину высшего порядка по отношению к произведению дифференциалов 
от элементарного объема 
т. е. объема шестигранника, ограниченного двумя тройками координатных поверхностей, проходящих через исходную точку 
и бесконечно близкую точку 
(рис. 194).
Доказательство. Объем элементарного шестигранника 
определяется в декартовых координатах тройным интегралом
Преобразовав этот интеграл к новым переменным 
получим
причем новая область интеграции 
будет прямоугольным параллелепипедом с ребрами 
(рис. 195). Применив теорему о средпем значении, найдем
Но абсолютная величина определителя преобразования 
являегся непрерывной функцией, поэтому ее среднее значение внутри элементарного параллелепипеда отличается от ее значения 
в исходной точке 
на бескопечно малую величину 
Рис. 194.
Рис. 195.
Поэтому мы получим
т. е.
Теорема доказана.
