§ 3. Основные задачи, связанные с векторным умножением векторов
Задача 8. Определение площади треугольника. Модуль векторного произведения векторов 
являющихся сторонами треугольника (рис. 61), равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Рис. 61.
Площадь а 
этого треугольпика составляет половину площади параллелограмма. Следовательно,
Итак, площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения двух векторов, являющихся сторонами этого треугольника.
Пример 3. Определим площадь треугольника с вершинами 
и 
а) Мы знаем (гл. II, § 2), что проекции вектора на координатные оси получаются вычитанием из координат конца вектора соответствующих координат пачала. Пользуясь этим правилом, находим
б) Эти векторы 
являются двумя сторонами нашего треугольника. Перемножив их векторно, получим:
в) Искомая площадь треугольника 
равна половине модуля полученного векторного произведения, т. е.
Задача 9. Определение расстояния от точки до прямой. Будем предполагать, что известен направляющий вектор 
прямой 
а также вектор 
соединяющий какую-либо точку прямой с данной точкой 
(рис. 62).
Рис. 62.
Площадь а параллелограмма, построенного на векторах 
равна модулю векторного произведения этих векторов:
с другой стороны, площадь того же параллелограмма равна произведению основания на высоту, т. е. произведению модуля 
на расстояние 
от точки 
до прямой:
Сравнивая оба выражении для площади параллелограмма, получим
Отсюда и найдем искомое расстояние:
Задача 10. Определение нормального вектора плоскости. Нормальным вектором 
плоскости называется любой
вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Нормальный вектор 
получится, если векторно перемножить два неколлинеарных вектора 
лежащих в данной плоскости (рис. 63):
Примечание. Нормальными векторами приходится пользоваться, например, при определении угла между двумя плоскостями (см. задачу 13).
Рис. 63.
Рис. 64.
Задача 11. Определение вектора общего перпендикуляра к двум прямым. Вектор общего перпендикуляра 
к двум прямым получится, если векторно перемножить направляющие векторы и 
этих прямых (рис. 64):
