6. Подвижной репер.

Репером называется фиксированная тройка некомпланарпых векторов исходящих из фиксированной точки пространства. В силу некомпланарности векторов репера их смешанное произведение отлично от нуля:

Из некомпланарностп векторов вытекает некомпланарность и их векторных произведений Действительно, рассмотрим линейную зависимость

Умножив это соотношение скалярно на получим

откуда следует Апалогично получаем, что Следовательно, между векторными произведениями не может быть линейной зависимости, в которой не все коэффициенты отличны от нуля. А это значит, что векторы некомпланарны.

Заметим, что частпым случаем репера является декартов прямоугольный репер, составленный из координатных ортов

А. Разложение вектора по векторам репера и по их векторным произведениям.

1) Разложим произвольно взятый вектор а по векторам репера:

Для определения коэффициентов этого разложения скалярно умножим обе части (19.17) поочередно на векторные произведения

Отсюда найдем

Следовательно, формула разложения (19.17) может быть переписана так:

2) Аналогично можно разложить вектор а по векторным произведениям векторов репера.

Однако для большей симметричности формул мы будем разлагать вектор не по самим векторным произведениям, а по их отношениям к смешанному произведению

Умножая последовательно это равенство скалярпо на мы определим коэффициенты разложения (19.19):

Разложение (19.19) примет вид

Б. Подвижной репер, порожденный системой криволинейных координат.

Частные производные радиуса-вектора текущей точки пространства по ее криволинейным координатам мы будем обозначать так:

Каждая из этих частных производных является производной, вычисленной в предположении, что только одна координата меняется, а две другие координаты сохраняют неизменные значения. Вследствие этого частная производная является вектором, касательным к координатной линии вдоль которой меняется лишь та координата по которой производится дифференцирование.

Таким образом, в текущей точке пространства возникают три вектора касательных к координатным линиям Мы будем рассматривать лишь такие криволинейные координаты, для которых эти частные производные пекомпланарны ни в одной точке рассматриваемой области V, т. е.

Определение. Тройку некомпланарных векторов исходящих из текущей точки и

являющихся частными производными радиуса-вектора этой точки по ее криволинейным координатам, мы будем называть подвижным репером, связанным с этой текущей точкой и порожденным рассматриваемой системой криволинейных координат.

Таким образом, с каждой точкой пространства, отнесенного к системе криволинейных координат, оказывается связанным свой репер.