4. Доказательстве существования угловой скорости твердого тела.
При переходе от формулы конечного поворота (10.15) к формуле Эйлера мы фактически постулировали существование предела
т. е. постулировали существование вектора угловой скорости. Теперь мы строго докажем это существование, опираясь на тот факт, что в каждый момент времени все точки твердого тела обладают определенными скоростями.
а) Сначала докажем существование предела
Рассмотрим две точки тела, скорости которых
в данный момент
не коллинеарны. За бесконечно малый промежуток времени
радиусы-векторы
этих точек получат приращения
и А перпендикулярные вектору конечного поворота
Следовательно,
Предел полученного выражения существует и равен
б) Возьмем теперь какую-нибудь точку твердого тела, радиус-вектор
которой в данный момент
не коллинеарен вектору
а скорость равна
Модуль вектора поворота, соответствующего бесконечно малому промежутку времени
определяется формулой (10.16):
откуда
Предел полученного выражения существует и равен
в) Теперь легко доказывается существование угловой скорости: