§ 5. Эвольвента
Эвольвентой данной кривой называется новая кривая, для которой данная кривая служит эволютой. Докажем, что если с исходной кривой сматывать в натянутом состоянии нить, то любая фиксированная точка 
этой нити будет описывать эвольвенту исходной кривой (эволюты).
Рис. 110.
Таким образом, у данной кривой эвольвент бесконечно много.
Доказательство. Обозначим через 
дугу исходной кривой между начальной точкой 
и текущей точкой 
На касательной в точке 
в направлении, противоположном х, отложив отрезок 
где С — любая константа, получим точку 
радиус-вектор 
которой определится так:
Это уравнение и определяет радиус-вектор 
фиксированной точки 
нити, которая сматывается в натянутом состоянии с данной кривой (рис. 110).
Найдем эволюту для кривой, которую описывает точка 
Снабжая индексом 2 все величины, связанные
с этой кривой, последовательно находим:
Отсюда получаем
Радиус-вектор 
текущей точки эволюты для кривой, описываемой точкой 
будет равен
т. е. эта эволюта совпадает с исходной кривой, что и требовалось доказать.
