6. Винтовая линия.

В качестве примера рассмотрим винтовую линию. Винтовой линией называется траектория какой-либо точки твердого тела, которое вращается вокруг неподвижной оси и скользит вдоль нее так, что перемещение пропорционально углу поворота.

Расстояние точки от оси обозначим через а. Перемещение тела вдоль оси при его повороте на один радиан обозначим через

Прямоугольную систему координат расположим так, чтобы ось была направлена по оси винтовой линии,

а ось Ох проходила через начальное положение точки описывающей линию (рис. 101).

Пусть тело повернулось на угол следовательно, одновременно сместилось вдоль оси на Выразив координаты х, у, z точки описывающей винтовую линию, через параметр (см. рис. 101), мы получим систему параметрических уравнепий винтовой линии:

Умпожив эти уравнения соответственно на к и сложив, получим векторное уравнение винтовой линии:

Рис. 101.

Для вычисления дифференциально-геометрических величин нам придется вычислять производные по дуге. При этом мы будем систематически пользоваться тем, что производная всякой функции по дуге равна, отношению дифференциала этой функции к дифференциалу дуги.

Дифференциал дуги мы будем вычислять но формуле

Это означает, что направление на кривой выбирается в сторону возрастания параметра

Учитывая все эти замечания, из уравнений винтовой линии (8.46) последовательно находим:

(см. скан)

Опираясь на полученные формулы, отметим некоторые геометрические особенности винтовой линии.

а) Кривизна винтовой линии постоянна:

Она обращается в нуль лишь при т. е. когда точка движется по оси вращения тела и описывает, следовательно, прямую.

б) Кручение винтовой линии также постоянно:

Оно равно нулю при т. е. когда тело имеет лишь вращательное движение без скольжения вдоль оси. В этом случае точка будет описывать просто окружность радиуса а.

в) Орт главной нормали направлен по перпендикуляру, опущенному из рассматриваемой точки винтовой линии на ее ось Действительно (рис. 101),

г) Касательная к винтовой линии образует постоянный угол с осью