3. Соприкасающаяся плоскость.

Определение. Соприкасающейся плоскостью кривой в данной точке называется предельное положение плоскости, проходящей через касательную в данной точке и через бесконечно близкую к точку кривой.

Из определения соприкасающейся плоскости непосредственно вытекает, что соприкасающаяся плоскость плоской кривой (не прямой) совпадает всегда с плоскостью, в которой эта линия расположена.

Теорема. Производные первого и второго порядков радиуса-вектора текущей точки кривой располагаются в соответствующей соприкасающейся плоскости.

Доказательство. Рассмотрим линию Проведем плоскость через касательную в данной точке и соседнюю к пей точку (рис. 90).

В этой плоскости будут лежать векторы и Воспользовавшись формулой Тейлора (7.20) при мы получим

Отсюда находим

Таким образом, вектор разлагается по векторам , лежащим в рассматриваемой плоскости а следовательно, и сам он лежит в этой плоскости

Рис. 90.

При стремлении к нулю плоскость будет стремиться к соприкасающейся плоскости. Следовательно, расположенные в векторы будут иметь своими пределами векторы и расположенные в соприкасающейся плоскости. Теорема доказана.

Таким образом, производные первого и второго порядков от радиуса-вектора текущей точки определяют соответствующую соприкасающуюся плоскость, если только эти производные не коллинеарны т. е.

В дальнейшем это всегда будет предполагаться

Замечание. Рассмотрим какую-либо точку и соседнюю точку на нашей линии и разложим вектор смещения по формуле Тейлора:

Мы видим, что вектор смещения слагается из вектора расположенного в соприкасающейся плоскости, и добавочного вектора Но этот добавочный вектор является бесконечно малым вектором более высокого порядка малости, чем

Рис. 91.

Следовательно, пространственная кривая в ближайшей окрестности исходной точки весьма мало отклоняется от соприкасающейся плоскости и главном» лежит в этой плоскости (рис. 91).