§ 5. Первая квадратичная форма поверхности
1. Определение первой квадратичной формы.
Рассмотрим параметризованную поверхность
Независимо от того, являются ли параметры 
независимыми аргументами или же любыми функциями от других независимых аргументов, полный дифференциал 
радиуса-вектора 
текущей точки поверхности представляется в виде (векторной) инвариантной линейной дифференциальной формы
Тем же свойством инвариантности обладает и скалярный квадрат этой формы, представляющий собой скалярную квадратичную дифференциальную форму
Определение. Скалярный квадрат полного дифференциала 
радиуса-вектора текущей точки поверхности называется первой квадратичной формой 
поверхности:
В развернутом виде ее записывают так:
Коэффициенты 
первой квадратичной формы определяются из ранее полученного для нее выражения (11.54):
Замечание 1. В неособой точке поверхности
Следовательно,
Отсюда, в частности, следует, что в неособой точке всегда
Замечание 2. В неособой точке поверхности векторы 
и 
коллинеарны. Следовательно, если дифференциалы 
параметров не равны одновременно нулю, то
А это значит, что
т. е. первая квадратичная форма в неособой точке поверхности положительно определена.
