2. Дивергенция в криволинейных координатах.

Будем исходить из формулы Остроградского

Предположим, что область пространства и векторпое поле В отнесены к системе криволинейных координат а замкнутая поверхность ограничивающая область состоит из кусков, на каждом из которых введена (см. гл. XI, § 2) система параметров причем вектор направлен по наружной нормали. Тогда (см.

и формула Остроградского может быть переписана так:

где область интеграции является изображением области V (рис. 196) при переходе к вспомогательной декартовой системе (рис. 197).

По правилу дифференцирования сложной функции получаем

Перемножим векторно эти два вектора:

Подставив это выражение в правую часть формулы Остроградского (19.29) и воспользовавшись правилом (13.39) преобразования поверхностного интеграла к повым переменным, мы получим

Рис. 196.

Рис. 197.

Поверхностный интеграл в правой части этого тождества мы можем рассматривать во вспомогательной декартовой системе координатных осей считая его распространенным по замкнутой поверхности ограничивающей образ (V области Применив к пему координатную формулу Остроградского (15.11), мы приведем наше тождество к виду

Это тождество справедливо при любой области интеграции что возможно лишь при совпадении подынтегральных функций правой и левой частей. Сравнив их и разделив на мы получим выражение дивергенции в криволинейных координатах: