Глава XIV. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

§ 1. Векторное поле

1. Если в каждой точке пекоторой части пространства определен вектор то говорят, что в этой части пространства определено векторное поле (поле вектора Иначе говоря, векторное поле определяется заданием переменного вектора который становится определенным вектором в каждой точке рассматриваемой части пространства. Этот переменный вектор называется вектором поля.

В каждом конкретном случае вектор поля изображает какую-либо конкретную физическую величину.

Так, в пространстве, окружающем материальное тело, возникает поле тяготения. В каждой точке этого поля определена сила (напряженность поля), с которой поле действует на едипичпую массу, помещенную в данную точку.

Заряженное электричеством тело создает в окружающем его пространстве электростатическое поле, в каждой точке которого определена сила (напряженность поля), с которой поле действует на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку.

Поток жидкости в данный момепт времени определяет в заполняемой им части пространства поле скоростей и т. д.

Математическая теория векторного поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физического смысла. Поэтому получаемые в этой теории понятия и закономерности относятся ко реем конкретным векторным полям.

2. Каждой точке поля соответствует определенное значение вектора поля (рис. 152). Следовательно, вектор поля является функцией от радиуса-вектора точкиз

Мы будем относить поле к прямоугольной системе координат с ортами осей, Тогда вектор поля можно будет рассматривать как функцию от трех декартовых

координат х, у, z текущей точки голя:

Разложив вектор поля по ортам осей мы получим

причем проекции являются функциями от координат х, у, z точки поля:

3. В многих конкретных случаях вектор поля является функцией только от координат х, у, z точки поля, по и от времени Такие поля называются переменными, в отличие от полей стационарных, не зависящих от времени.

В дальнейшем мы будем отвлекаться от зависимости вектора ноля от времени, т. е. либо будем рассматривать поля стационарные (не зависящие от времени), либо будем рассматривать переменные поля, но лишь в данный момент времени Получаю щаяся при этом теория мгновенного состояния векторного ноля имеет очень важное значение и сама по себе и как общая основа для теории переменных полей.

4. Для построения математической теории векторного ноля мы будем пользоваться методами дифференциального и интегрального исчисления. Это обстоятельство вынуждает ограничиться изучением лишь тех векторных полей, которые удовлетворяют некоторым дополнительным требованиям. А именно, мы будем в дальнейшем считать, что проекции вектора поля на координатные оси являются непрерывными функциями, обладающими непрерывными частными производными первого порядка во

Рис. 152.

всех точках поля. Иногда мы будем предполагать существование и непрерывность частных производных второго порядка.

Если в окрестности данной точки пространства проекции вектора поля непрерывны и обладают непрерывными частными производными, а в самой точке эти условия нарушаются, то такую точку мы будем называть «особой точкой поля». Следовательно, особая точка поля по существу принадлежит нолю.