выполняются следующие соотношения:
Мы будем предполагать, что векторы
образуют правую систему. Тогда будут иметь место следующие соотношения:
Рассматривая векторное поле в ортогональной системе координат, мы будем вектор поля
в текущей точке
разлагать по векторам ортонормировапного репера, связанного с этой точкой:
Коэффициенты
в этом разложении являются проекциями вектора
на орты
и определяются формулами
2. Коэффициенты Ламе.
Коэффициентами Ламе
соответствующими данной ортогональной криволинейной системе координат, называются модули частных производных
радиуса-вектора
текущей точки
по ее криволинейным координатам
Таким образом,
3. Линейный элемент и элемент объема в ортогональных координатах.
Имеем
или
Отсюда, учитывая единичность и взаимную ортогональность векторов
получаем для квадрата линейного
элемента выражение
Элемент объема (см. (19.9))
в силу соотношений (19.39) и (19.43) приобретает вид
4. Дифференциальные операции в ортогональной системе координат.
Исходя из общих формул для градиента (19.26), дивергенции (19.31) и ротации (19.35), на основании соотношений
получаем следующие выражения для основных дифференциальных операций в ортогональной системе координат:
где
5. Оператор Лапласа в ортогональных координатах.
Лапласиан
функции
определяется формулой (см. (17.63) и
Пользуясь формулами (19.47), (19.48) для градиента и дивергенции, находим