§ 4. Цилиндрические координаты
1. Введение цилиндрических координат.
Зафиксируем в пространстве декартову систему координатных осей 
(рис. 200). Положение точки 
в пространстве будет определено, если будут заданы следующие числа.
а) Расстояние 
точки 
от оси 
Это расстояние есть число неотрицательное 
Рис. 200.
б) Радианная мера 
угла, образованноговекторпой проекцией на координатную плоскость Оху радиуса-вектора 
точки с осью 
Этот угол отсчитывается от положительного направления оси Ох против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси 
Для того чтобы каждой точке пространства соответствовало только одно значение угла 
будем считать его изменяющимся лишь от 0 до 
При 81 ом должны иметь место неравенства 
где второе неравенство является строгим, так как иначе не будет выполняться условие взаимной однозначности для точек пространства 
в) Проекция 
радиуса-вектора 
точки 
на ось 
Эти три числа 
называются цилиндрическими координатами точки 
Заметим, что 
являются, согласно определению, полярными координатами проекции точки 
на плоскость Оху. Из а), б), в) следует, что область изменения цилиндрических координат 
характеризуется следующими неравенствами:
При указанных ограничениях между точками пространства и тройками значений цилиндрических координат 
будет осуществляться взаимно однозначное соответствие
которое будет нарушаться лишь вдоль оси 
для точек которой угол 
остается неопределенным. Из чертежа (см. рис. 200) непосредственно видно, что декартовы координаты х, у, z точки 
относительно фиксированной декартовой системы координатных осей связаны с цилиндрическими координатами 
формулами
и радиус-вектор 
текущей точки 
может быть записан так:
где 
орты координатных осей декартовой системы. Координатные поверхности (рис. 201) в цилипдрической системе координат будут следующие:
1) поверхности 
круговые цилиндры с общей осью 
(это и дало повод называть рассматриваемые криволинейпые координаты цилиндрическими);
2) поверхности 
полуплоскости, проходящие через ось 
3) поверхности 
плоскости, параллельные плоскости Оху.
Рис. 201.
Отметим, что в каждой точке пространства, исключая полюс О, три координатные поверхности, а следовательно, и три координатные линии пересекаются ортогонально. Следовательно, цилиндрическая система координат является ортогональной.
