3. Циркуляция потенциального поля по замкнутому контуру.

а) Рассмотрим в потепциальпом поле замкнутый контур ограничивающий некоторую область поверхности целиком принадлежащую нолю (рис. 170). На основании теоремы Стокса можем написать

По условию поле потенциальное, т. е.

В силу зтого мы получим равенство нулю циркуляции:

Заметим, что существенным было предположение о принадлежности полю. Только на этом основании мы и могли применить теорему Стокса.

Не всегда контур целиком находящийся в поле, может ограничивать поверхностную область также целиком принадлежащую полю. Например, если поле занимает не все пространство, а лишь некоторую область, расположенную вокруг бесконечного круглого цилиндра (рис. 171), то контур охватывающий этот цилиндр, не может ограничивать никакую поверхностную область не пересекающую этого цилиндра и принадлежащую целиком полю.

Рис. 170.

Рис. 171.

Характерной особенностью контура, который способен ограничивать поверхностную область целиком принадлежащую полю, является возможность непрерывной деформацией стянуть его в точку поля, не пересекая границ поля. При таком стягивании контур и опишет поверхностную область целиком лежащую в поле.

Итак, доказанное выше равенство нулю циркуляции потенциального поля относится только к контурам, которые стягиваются к точке без пересечения границ поля.

б) Допустим, что, обратно, циркуляция пекоторого поля по любому замкнутому контуру, который можно стянуть в точку, не пересекая границ ноля, равна нулю;

Представив проекцию ротации этого поля на произвольный вектор в виде предела отношения (16.27), мы

получим

откуда в силу произвольности

т. е. рассматриваемое поле потенциальное.

Итак, получается следующая

Теорема. Векторное поле является потенциальным полем тогда и только тогда, когда равна нулю циркуляция по любому замкнутому контуру, который можно стянуть в точку поля, не пересекая его границ.