2. Главные направления на поверхности.
Ранее отмечалось, что каждому направлению на поверхности соответствует определенная нормальная кривизна 
Будем искать в фиксированной точке 
направления, которым соответствуют экстремальные значения нормальной кривизны. Обозначив
из (11.76) получим
Так как в фиксированной точке коэффициенты квадратичных форм определены, то правая часть (11.83) зависит лишь от 
Найдем 
производную:
Ранее отмечалось, что в иеособой точке первая квадратичная форма положительно определена. Поэтому знаменатель в правой части последнего равенства не 
нулю, и необходимое условие экстремума нормальной кривизны состоит в равенстве нулю числителя:
или что то же,
В неособой точке поверхности дискриминант квадратного уравнения (11.86), вообще говоря, положителен. В этом легко убедиться, введя на поверхности ортогональную параметрическую сеть, т. е. такую, что в каждой точке линия и перпендикулярна линии 
В такой сети,
как это видно из 
В силу этого уравнение (11.86) примет вид
а его дискриминант равен
Но (см. § 5, п. 1) в неособой точке коэффициенты 
положительны. Поэтому дискриминант неотрицателен. Нулю же он равен лишь при условии, что 
Но при этом условии все коэффициенты уравнения (11.87) обращаются в нуль, т. е. это уравнение, а потому и уравнение (11.86), обращается в тождество.
Итак, если уравнение (11.86) не является тождеством, то в неособой точке поверхности оно имеет два различных действительных корня и 
Определяемые этими корнями направления на поверхности называются главными направлениями, а соответствующие им нормальные кривизны — главными кривизнами поверхности.
Главные кривизны и 
можно получить, внося последовательно и 12 в (11.83). Далее будет показано, 
они и являются экстремальными значениями нормальной кривизны.
Заметим, что главные кривизны можно получить и иначе. Разделив обе части (11.85) на 
и приняв во внимание (11.83), будем иметь
Уравнение (11.86) приводится к виду
Внося сюда (11.88) и сокращая результат на 
получим
Исключая I из уравнений (11.88) и (11.89), придем к квадратному уравнению
корни которого и будут главными кривизнами.
