2. Касательная.

Простейшим дифференциально-геометрическим понятием, связанным с линией, является уже встречавшееся нам (гл. VII, § 2, п. 2) понятие касательной.

Определение. Касательной к линии в данной ее точке называется предельное положение секущей, проходящей через данную точку и бесконечно близкую к ней точку линии.

Как было показано (гл. VII, § 2, п. 2), справедлива следующая

Теорема. Производная радиуса-вектора текущей точки линии по ее параметру есть вектор, направленный по соответствующей касательной в сторону роста параметра

Таким образом, нроизводпая определяет соответствующую касательную, если только эта производная

Рис. 88.

существует и отлична от пуля:

В дальнейшем это всегда будет предполагаться.

Замечание. Вектор соединяющий исходную точку с соседней точкой разложим по формуле Тейлора (7.20), пололив в ней

Мы видим, что вектор смещения слагается из вектора , расположенного на касательной, и добавочного вектора Касательный вектор имеет одинаковый порядок малости с добавочный вектор имеет более высокий порядок малости. Следовательно, можно считать, что кривая в первом приближении сливается со своей касательной в достаточно малой окрестности точки касания (рис. 89).

Рис. 89.