4. Предел вектора.

Постоянный вектор А называется пределом переменного вектора если модуль разности между ними в процессе изменения вектора становится и в дальнейшем остается меньше произвольного наперед заданного положительного числа (рис. 83).

Таким образом, для заданного начиная с некоторого момента, зависящего от величины , будет выполняться неравенство

Как и в обычном анализе, пишут

Вектор называется бесконечно малым, если его предел равен нулю:

Замечание векторном анализе сохраняются основные теоремы о бесконечно малых и о пределах. Это происходит потому, что: а) определепия предела и бесконечно малого вектора вполне аналогичны обычным определениям анализа; б) на векторные операции распространяются законы, аналогичные законам обычной алгебры; в) с модулями векторов можно обращаться, как с абсолютными величинами чисел.

Замечание 2. Переменный вектор равен сумме своего предела А и некоторого бесконечно малого вектора т. е. из следует

Замечание 3. Предел модуля вектора равен модулю его предела, если последний предел существует.

Действительно, пусть Зададим . Тогда, начиная с некоторого момента, будет выполняться неравенство

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то (см. рис. 83)

Следовательно, начиная с указанного момента,

т. е.

или

5. Непрерывная вектор-функция. Векторная функция скаляра называется непрерывной, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

Отсюда следует, что

т. е. предел непрерывной функции равен значению этой функции при предельном значении аргумента.