§ 4. Инвариантные формулы

Величины просто выражаются через производные от радиуса-вектора текущей точки линии по ее дуге:

Однако применение этих формул, когда линия отнесена к произвольному параметру приводит к громоздким выкладкам. Поэтому желательно выразить эти величины через производные от радиуса-вектора по произвольному параметру к которому отнесена линия. Это можно сделать путем непосредственного преобразования формул. Однако мы применим новый метод, при помощи которого вновь автоматически придем к величинам и при этом получим необходимые общие формулы для их вычисления.

Будем исходить из того, что величины имеют геометрический характер и не зависят от выбора параметра к которому отнесена линия. Поэтому их выражения через производные от радиуса-вектора текущей точки линии по произвольному параметру не должны изменяться при преобразованиях этого параметра.

Таким образом, если мы будем строить из производных выражения, не меняющиеся при преобразованиях параметра, то среди них обнаружатся и интересующие нас величины. Этими построениями мы и займемся.

1. Преобразование производных при преобразовании параметра t.

Пусть линия отнесена к произвольному параметру

Преобразуем параметр в новый параметр положив

причем будем предполагать, что что при возрастании параметра растет и параметр т. е.

Последовательным дифференцированием векторной функции по параметру находим следующие формулы преобразования производных:

Будем при помощи этих формул строить выражения, не меняющиеся при преобразованиях параметра.

2. Инвариантный вектор первого порядка.

Из уравнения (8.65) следует

Разделив уравнение (8.65) на полученное, будем иметь

Мы видим, что вектор инвариантен: он не меняется при преобразованиях параметра. Его можно назвать инвариантным вектором первого порядка потому, что он выражается лишь через производную первого порядка. Для выяснения его геометрического смысла примем за параметр дугу Тогда наш инвариантный вектор выразится так:

Следовательно, он является ортом касательной.

Итак, получена инвариантная формула для орта касательной:

3. Инварианты второго порядка

Получатся из формул (8.65), (8.66) преобразования производных первого и второго порядков.

а) Перемножив векторно эти формулы, найдем

Отсюда следует:

б) Разделив скаляр (8.72) на куб скаляра (8.68), получим

Мы видим, что получился инвариантный скаляр. Для выяснения его смысла возьмем за новый параметр дугу нашей линии. Тогда этот скаляр представится так:

Следовательно, он является кривизной К. Таким образом, мы получаем следующую инвариантную формулу для вычисления кривизны;

в) Разделив вектор (8.71) на скаляр (8.72), мы получим инвариантный вектор:

Для выяснения геометрического смысла этого инвариантного вектора опять воспользуемся дугой в качестве параметра:

т. е. рассматриваемый инвариантный вектор является ортом бинормали, и мы получаем для этого орта

инвариантную формулу:

г) Перемножив векторно мы получим инвариантную формулу для орта главной нормали:

4. Инвариант третьего порядка.

Перемножив скалярно векторы (8.71) и (8.67) и приняв во внимание, что смешанное произведение с двумя одинаковыми множителями равно нулю, мы получим

Разделив этот скаляр на скалярный квадрат вектора (8.71), найдем инвариантный скаляр третьего порядка:

Для выяснения его смысла за новый параметр примем дугу Тогда получим

Следовательно, рассматриваемый инвариант является кручением.

Таким образом, мы получаем следующую инвариантную формулу для вычисления кручения: