§ 5. Поверхностный интеграл в параметрической форме

Мы обобщим теперь понятие поверхностного интеграла на случай, когда поверхность, по которой распространен интеграл, определена параметрическим уравнением (см. (11.20))

При этом мы снова рассмотрим два типа поверхностных интегралов: интеграл с элементом интеграции который определяется как интеграл от сложной функции, и интеграл с элементом интеграции который определяется как предел интегральной суммы. Далее мы покажем, что оба эти интеграла сводятся к параметрическому поверхностному интегралу.

1. Координатный поверхностный интеграл как интеграл от сложной функции.

Мы будем рассматривать правильно параметризованную ориентированную поверхность

На этой поверхности мы выберем определенную сторону, которую определим при помощи нормального вектора исходящего из текущей точки поверхности.

Определение. Координатным поверхностным интегралом от функции с элементом интеграции распространенным по области правильно параметризованной ориентированной поверхности (см. 11.21))

называется двойной интеграл

в котором:

1) областью интеграции является область изменения параметров при перемещении текущей точки в рассматриваемой области (а);

2) подынте] ральное выражение получается подстановкой в подынтегральную функцию выражений аргументов х, у, z через параметры из уравнения поверхности и заменой элемента интеграции преобразованным элементом интеграции

где — якобиан (см. (11.32));

3) перед интегралом выбирается знак плюс, если направление нормали определяющей выбранную сторону поверхности, совпадает с направлением векторного произведения (см. (11.30))

и знак минус в противном случае.

Замечание 1. Таким образом, элемент интеграции под знаком поверхностного интеграла выражается так:

Мы видим, что если изменить порядок следования параметров то элемент интеграции изменит свой знак. Однако при этом изменяется на противоположное направление векторного произведения вследствие чего при переходе к двойному интегралу будет браться противоположный знак. Следовательно, поверхностный интеграл не измепится.

Замечание 2. Нетрудно проверить, что поверхностный интеграл инвариантен относительно преобразований параметров следовательно, не зависит от параметризации поверхности.

Замечание 3. Ранее мы определили поверхностный интеграл как двойной интеграл с элементом интеграции . В этом частном случае

а вектор направлен вверх, и поэтому знак плюс соответствует верхней стороне поверхности, а знак минус — нижней. Следовательно, новое определение согласовано со старым.