§ 4. Поток поля через поверхность

1. Поток жидкости.

К понятию потока поля мы естественным образом приходим при изучении поля скоростей текущей жидкости. Рассмотрим простейший случай, когда скорости всех частиц стационарно текущей жидкости одинаковы. Выделим в этом потоке плоскую площадку (рис. 157). Объем жидкости которая в единицу времени протечет сквозь будет равен объему цилиндра с основанием и образующей т. е.

Полученный объем и называется потоком жидкости через область

Отправляясь от этого элементарного представления, мы обобщим его на случай произвольного векторного поля и произвольной поверхности

2. Элементарный поток поля.

Рассмотрим в векторном поле небольшую область на кривой поверхности (рис. 158). Возьмем на ней произвольную точку которую назовем опорной точкой.

Рис. 157.

Рис. 158.

Через опорную точку проведем касательную плоскость к поверхности и построим на ней какую-нибудь плоскую площадку (5) с той же площадью, что и площадь области Эту площадку примем за основание цилиндра, образующие которого равны по длине и параллельны по направлению вектору поля в опорной точке. Объем полученного цилиндра и называется элементарным потоком поля через область поверхности

Обозначив через орт нормали поверхности в опорной точке , мы получим для элементарного потока формулу

Замечание 1. Если размеры площадки достаточно малы, то элементарный поток поля скоростей текущей жидкости достаточно точно выражает объем жидкости, проходящей в единицу времени через

Замечание 2. Элементарный поток не является однозначно определенной величиной для данной области Он меняется при изменении опорной точки. Прайда, если размеры области малы, то эти изменения элементарного потока будут незначительными.

Замечание 3. При изменении направления орта нормали на противоположное элементарный поток меняет только свой знак.

Рис. 159.

3. Поток поля через поверхность.

Разобьем область поверхности (рис. 159) произвольным способом на частичных областей Внутри каждой частичной области произвольно зафиксируем опорную точку и определим элементарный поток через эту частичную область:

Определение. Потоком поля В через поверхность называется предел суммы элементарных потоков через частичные области, на которые разбивается область когда число частичных областей неограниченно растет, а длина наибольшей из хорд неограниченно убывает:

Мы знаем, что этот предел поверхностной интегральной суммы не зависит ни от способа дробления области на частичные области, ни от выбора опорных точек внутри частичных областей (см. гл. XIII, § 4) и равен поверхностному интегралу. Получается следующая основная формула потока поля через поверхность

4. Различные виды формулы для вычисления потока.

а) Положив в (14.18)

мы получим формулу для вычисления потока в координатной форме

б) Под знаком интеграла мы можем пользоваться соотношениями (13.30)

В силу этого формулу (14.19) можно переписать так:

в) Если уравнение поверхности разрешено относительно третьей координаты,

то

где

Следовательно,

Подставив все это в (14.19), мы получим формулу для вычисления потока еще в таком виде:

Последняя формула часто бывает удобна при решении задач.

г) Предположим, наконец, что поверхность определена векторным параметрическим уравнением

Тогда

и формула для вычисления потока принимает такой вид:

Пример. Вычислим поток поля к через часть поверхности цилиндра высеченную конусом (рис. 160).

Рис. 160.

Рис. 161.

При этом нормаль считается направленной в сторону выпуклости цилиндра.

Искомый поток выражается формулой (14.26)

Вычислим проекции вектора поля

Из уравнения цилиндра находим

Исключив из уравнения цилиндра и из уравнения конуса высекающего область мы получим уравнение цилиндра, проектирующего границу на плоскость Следовательно, проекция (5) области на Оху есть круг (рис. 161)

с радиусом, равным

Область разделяется на две области проектирующихся в одну и ту же площадку Поэтому

Нижняя область имеет уравнение а верхняя уравнение . Поэтому