2. Нормальная кривизна линии на поверхности.

Мы будем рассматривать параметризованную поверхность

и линию, расположенную на ней:

Вектором кривизны всякой линии в том числе и линии, расположенной на поверхности, называется произведение кривизны К этой линии на орт ее главной нормали Как мы знаем (см. (8.35)), это произведение равно производной орта касательной по дуге т. е. производной второго порядка от радиуса-вектора текущей точки линии по дуге:

Определение. Нормальной кривизной линии на поверхности называется проекция вектора кривизны этой линии на нормаль к поверхпости в рассматриваемой точке.

Иначе говоря, нормальная кривизна линии на поверхности есть скалярное произведение вектора кривизны этой линии на орт нормали поверхности:

или

На основании определений квадратичпых форм поверхности имеем

Следовательно,

Итак, нормальная кривизна линии на поверхности равна отношению второй квадратичной формы поверхности к первой, причем значения параметров берутся в рассматриваемой точке, а их дифференциалы вычисляются в этой точке из уравнения линии.

Заменив знаменатель в выражении для нормальной кривизны обратно через мы получим

Мы видим, что нормальная кривизна выражается через коэффициенты которые в рассматриваемой точке однозначно определены, и через отношения являющиеся коэффициентами разложения орта касательной рассматриваемой линии по векторам

Если две линии имеют в рассматриваемой точке общую касательную, то для них отношения будут соответственно совпадать или отличаться только знаком. В обоих случаях нормальная кривизна для этих линий будет одна и та же. Таким образом, мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема. Все линии на поверхности, проходящие через данную точку и обладающие в ней общей касательной, имеют в этой точке одинаковые нормальные кривизны.