2. Нормальная кривизна линии на поверхности.
Мы будем рассматривать параметризованную поверхность
и линию, расположенную на ней:
Вектором кривизны всякой линии в том числе и линии, расположенной на поверхности, называется произведение кривизны К этой линии на орт ее главной нормали
Как мы знаем (см. (8.35)), это произведение равно производной орта касательной
по дуге
т. е. производной второго порядка от радиуса-вектора
текущей точки линии по дуге:
Определение. Нормальной кривизной
линии на поверхности называется проекция вектора кривизны этой линии на нормаль к поверхпости в рассматриваемой точке.
Иначе говоря, нормальная кривизна
линии на поверхности есть скалярное произведение вектора кривизны
этой линии на орт нормали
поверхности:
или
На основании определений квадратичпых форм поверхности имеем
Следовательно,
Итак, нормальная кривизна линии на поверхности равна отношению второй квадратичной формы поверхности к первой, причем значения параметров
берутся в рассматриваемой точке, а их дифференциалы
вычисляются в этой точке из уравнения линии.
Заменив знаменатель в выражении
для нормальной кривизны обратно через
мы получим
Мы видим, что нормальная кривизна выражается через коэффициенты
которые в рассматриваемой точке однозначно определены, и через отношения
являющиеся коэффициентами разложения орта касательной
рассматриваемой линии по векторам
Если две линии имеют в рассматриваемой точке общую касательную, то для них отношения
будут соответственно совпадать или отличаться только знаком. В обоих случаях нормальная кривизна
для этих линий будет одна и та же. Таким образом, мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема. Все линии на поверхности, проходящие через данную точку и обладающие в ней общей касательной, имеют в этой точке одинаковые нормальные кривизны.