Глава XVI. ТЕОРЕМА СТОКСА. РОТАЦИЯ ПОЛЯ

§ 1. Формула Стокса

1. Формула Грина.

Пусть на плоскости Ох контур ограничивают плоскую область (рис. 166). Пусть на этой области определены две функции

непрерывные и обладающие непрерывными частными производными на всей области включая ее границу (I).

Рис. 166.

Докажем, что при этих условиях справедлива следующая формула Грина:

Но определению двойного интеграла

Следовательно,

Получившиеся в правой части определенные интегралы являются криволинейными интегралами по двум участкам и

Сложив почленно эти формулы, мы слева получим наш двойной интеграл (16.2), а справа криволинейный интеграл по всему замкнутому контуру обходимому против хода часовой стрелки:

Аналогично найдем

Получившиеся в правой части определенные интегралы можно рассматривать как криволинейные интегралы но участкам и контура

Следовательно,

Вычитая почленно из формулы (16.3) формулу (16.5), мы придем к нужной формуле (16.1)

2. Формула Стокса.

Выведенная формула Грина (16.1) преобразует любой криволинейный интеграл, распространенный по плоскому замкнутому контуру (I), в двойной интеграл по плоской области ограниченной этим контуром Задача заключается в обобщении этой формулы на случай произвольного пространственного контура ограничивающего кривую область

Рассмотрим произвольное векторное поле

Проекции вектора поля

будем предполагать произвольными непрерывными функциями, обладающими непрерывными частными производными первого порядка, В этом поле рассмотрим на поверхности область ограниченную контуром (рис. 167).

Рис. 167.

Уравнение поверхности будем полагать разрешенным относительно Нормаль к поверхности направим так, чтобы ее угол с осью был острым. После этого выберем направление обхода контура так, чтобы оно было видпо происходящим против хода часовой стрелки, если смотреть с той стороны, куда направлена нормаль. Циркуляция поля вдоль контура имеет вид

Контур лежит на поверхности и потому координаты его точек удовлетворяют уравнению поверхности

из которого следует

Подставив все это в формулу для циркуляции, получим

или

Знак над проекциями указывает на то, что входящая в их выражения третья координата рассматривается как функция, определенная уравнением поверхности т. е.

Таким образом, в последнем криволипейном интеграле (16.9) содержатся фактически только две координаты: Но для всякой точки на контуре значения этих двух координат совпадают с их значениями для проекции точки на плоскость Оху. Поэтому интегрирование но пространственному контуру можно заменить интегрированием но его проекции на плоскость

Следовательно,

где положено

Применив формулу Грина (16.1), мы получим

На основании правила дифференцирования сложных функций мы из (16.13) найдем

При подстановке этих выражений в формулу (16.14) некоторые члены взаимно уничтожатся и эта формула примет вид

Введем обозначения

и обратим внимапие на то. что полученный двойной интеграл (16.15) в полном соответствии с определением поверхностного интеграла (гл. XIII, § 3) является поверхностным интегралом по области (а):

Но

Кроме того, под знаком поверхностного интеграла можно пользоваться соотиошениями

В силу этого

Это и есть формула Стоке а. В чисто координатной форме ее можно записать так;

3. Векторный вид формулы Стокса.

Подынтегральную функцию поверхностного интеграла в формуле Стокса можно рассматривать как скалярное произведение орта нормали к поверхности

и вектора, называемого ротацией поля или вихрем поля:

В силу этого формулу Стокса (16.20) можно переписать в векторной форме так:

Левая часть этой формулы является циркуляцией поля по контуру правая же часть является потоком ротации через Получается следующая теорема.

Теорема Стокса. Циркуляция поля по замкнутому контуру равна потоку ротации этого поля через поверхность, ограниченную этим контуром.