ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Глава XII. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Функция поля. Поверхности уровня
1. Скалярное поле.
Если в каждой точке некоторой части пространства определено значение некоторого скаляра 
то говорят, что в этой части пространства определено скалярное поле (поле скаляра 
.
Примерами конкретных скалярных полей могут служить поле температуры нагретого тела, поле давлении воздуха в атмосфере, поле плотности вещества в теле и т. д.
Замечание. Очень часто приходится иметь дело не с пространственными, а с плоскими полями, когда каждой точке плоскости приводится в соответствие значение скаляра. Такие поля рассматриваются, например, в метеорологии: поле температур в данный момент на поверхности земли, ноле давлений и т. д.
2. Скаляр поля.
В каждой точке ноля скаляр 
имеет определенное значение. Следовательно, скаляр 
является функцией от радиуса-вектора 
текущей точки поля:
Мы будем относить поле к прямоугольной системе координат х, у, z. Тогда текущая точка пространства будет определяться тройкой текущих прямоугольных координат х, у, z и скаляр поля будет функцией от них:
Замечание 1. Для обеспечения возможности прилагать методы дифференциального и интегрального исчисления в теории поля мы будем ограничиваться рассмотрением лишь таких скалярных функций поля,
которые непрерывны и обладают непрерывными частными производными до необходимого в исследовании порядка.
Замечание 2. Часто приходится рассматривать переменные поля, когда скаляр поля зависит 
только от координат точки, но и от времени:
Мы ограничимся изучением лишь стациопарных полей, не зависящих от времени. Если же поля будут переменными, то наша теория будет относиться лишь к каждому их мгновенному состоянию. Теория стационарного скалярного поля имеет большое самостоятельное значение. С другой стороны, она является основой для изучения переменных полей.
3. Поверхности уровня.
Геометрическое место точек поля, в которых скаляр поля 
имеет одно и то же значение, называется поверхностью уровня поля.
Таким образом, уравнение поверхности уровня поля имеет вид
где С — произвольная постоянная, которой можно придавать любые значения, заключенные между наименьшим и наибольшим зпачениями скаляра поля.
Через каждую точку поля 
проходит единственная поверхность уровня, определенная уравнением
Замечание. В случае двумерного поля понятие поверхности уровня заменяется понятием линии уровня. Примерами таких линий могут служить наносимые на картах изобары (линии равных давлений), изотермы (линии равных температур) и т. д.
