3. Произвольные скалярные функции от векторов.

Любую аналитическую функцию от любых рациональных скалярных функций векторных аргументов мы будем называть скалярной функцией этих векторных аргументов.

Примерами таких функций могут служить

Первая основная теорема. Всякая скалярная функция от векторов может быть представлена как функция только от попарных скалярных произведений этих векторов.

Доказательство, а) Выразим через элементарные скалярные функции все рациональные скалярные функции, от которых зависит произвольно взятая функция Тогда также выразится только через элементарные скалярные функции.

б) Докажем теперь, что всякая элементарная скалярная функция выражается только через попарные скалярные произведения векторных аргументов. Действительно, всякая скалярная элементарная функция х есть произведение некоторого числа «векторных аргументов, не содержащее скалярных множителей.

Так как это произведение должно быть скаляром, то заключительным действием в нем может быть только скалярное умножение двух векторов:

Могут представиться лить четыре следующих случая:

1) Оба векторных мпожителя являются аргументами; тогда требуемое доказано.

2) Один множитель, например А, является аргументом а, другой множитель В является векторным произведением двух аргументов бис. Тогда, применив формулу (4.37), выражающую смешанное произведепие через попарные скалярные произведения, получим

Следовательно, в этом случае требуемое тоже доказано.

3) Один множитель, например А, является аргументом а. Другой же множитель В является векторным произведением двух множителей, из которых хотя бы один но

аргумент, т. е. сам является векторным произведением. В зтом случае наша скалярная функция х имеет вид

Применив формулу для векторно-векторного произведения, получим

или

Мы видим, что в этом случае исходная скалярная функция выразилась через четыре новых элементарных скалярных функции каждая из которых содержит заведомо меньше множителей, чем исходная функция х.

4) Ни один из множителей не является аргументом, т. е.

Это произведение можно преобразовать посредством (5.0):

Таким образом, в двух последних случаях исходпая элементарная скалярная функция х выражается через элементарные скалярные функции с меньшим числом сомножителей. Повторяя по отношепию к каждой из них аналогичные рассуждения, мы в конце концов выразим исходпую элементарную функцию через попарные скалярные произведения векторных аргументов. Теорема доказапа.