5. Векторный потенциал.
Пусть имеется соленоидальиое ноле:
Попытаемся определить новое векторное поле
так, чтобы его ротация равнялась вектору данного поля 
т. е.
или
Итак, дело сводится к решению системы трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций 
Мы будем искать частное решение этой системы, налагая в процессе ее решения дополнительные ограничения на определяемые функции (для упрощения решения).
а) Прежде всего для упрощения положим 
Тогда система (17.47) примет вид
Из первого и второго уравнений мы находим
Эти выражения для 
удовлетворяют первому и второму уравнениям при любых функциях 
от двух аргументов х и у. Теперь эти функции надлежит подобрать так, чтобы удовлетворилось и третье уравнение. С этой целью мы подставим в него найденные
выражения для 
и 
. В результате будем иметь
Для дальнейшего упрощения решения положим 
наше уравнение перепишется так:
Мы видим, что отсюда можно определить функцию 
от двух аргументов 
удовлетворяющую этому уравнению, тогда и только тогда, когда правая часть не зависит от аргумента 
Убедимся, что этот факт в пашем случае имеет место. Для этого вычислим производную по 
от правой части:
Итак, правая часть не зависит от 
и мы простым интегрированием по х находим
Положив 
мы окончательно получим такое частное решение нашей системы (17.47):
Получается следующая
Теорема. Вектор соленоидалъного поля является ротацией некоторого вспомогательного поля:
Определение. Вектор 
ротация которого равна вектору данного соленоидалъного поля 
называется векторным потенциалом зтого поля.
Замечания, а) Если к векторному потенциалу 
поля II прибавить градиент любой функции, то получится векторный потенциал того же поля. Действительно,
б) Два векторных потенциала векторного поля отличаются друг от друга на градиепт некоторой функции. В самом деле, пусть 
тогда
По если ротация поля равна нулю, то поле потенциально и вектор поля является градиентом потенциала, т. е.
Итак, общий вид векторного потенциала векторного поля 
таков:
где
и 
произвольная функция.
