Глава VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ

Основная цель векторной алгебры состоит в том, чтобы исходя из условий той или иной задачи, выразить неизвестные векторы и скаляры через известные векторы и скаляры посредством действий векторной алгебры.

Лишь после того, как такое выражение найдено, возникает дополнительный вопрос о выполнении действии при том или ином способе задания известных векторов. С особой простотой все действия векторной алгебры выполняются над векторами, заданными в прямоугольной системе координат. При других способах задания векторов выполнение этих действий приводит к более сложным вычислениям.

Ниже рассматривается ряд основных задач, которые решаются методами векторной алгебры.

§ 1. Основные задачи, связанные с линейными операциями над векторами

Задача 1. Определение замыкающей ломаной линии. Пусть из нескольких известных векторов составлена ломаная линия, причем не обязательно конец предшествующего вектора совпадает с началом последующего (рис. 57). Требуется определить вектор замыкающий эту ломаную, т. е. соединяющий одну ее конечную точку с другой. Для решения этой задачи мы из правила многоугольника и из определения вычитании векторов (гл. I, § 2 и § 3) получаем следующее правило.

Рис. 57.

Обобщенное правило многоугольника. Замыкающая векторной ломаной линии, равна сумме векторов, которая образуется так: данная ломаная обходится в направлении от начала замыкающей к ее концу, причем каждый встречающийся вектор (звено ломаной) прибавляется, если он направлен по направлению обхода, и вычитается, если он направлен против обхода.

Так, в соответствии с нашим чертежом (рис. 57), мы получим

Задача 2. Определение вектора, коллннеарного данному вектору. Всякий вектор коллинеарный данному вектору а, получается умножением данного вектора на

некоторый скаляр

Абсолютная величина этого скаляра равна отношению модулей искомого и данного векторов:

Положительному скаляру соответствует совпадение направлений векторов отрицательному — их противоположность.

Задача 3. Определение вектора, компланарного двум данным векторам. Всякий вектор компланарный двум данным (неколлинеарным) векторам разлагается по ним (рис. 58), т. е. является их линейной комбинацией § 5):

Скалярные коэффициенты могут быть определены лишь из каких-либо дополнительных условий. Если же таких условий нет и скаляры X, произвольны, то полученная формула (6.4) определяет совокупность векторов, компланарных векторам

Рис. 58.

В плоскости векторов требуется найти вектор у которого проекции на оси соответственно равны 3 и 1.

Вектор лежащий в плоскости векторов определяется формулой

Следовательно,

По условию проекции этого вектора на оси т. е. величины должны соответстенпо равняться 3 и 1, т. е.

Из этой системы находим Подставив значении в выражение для вектора получим