5. Законы скалярного умножения.

Мы видим, что скалярное произведение двух векторов в алгебраическом отношении существенно отличается от произведения чисел: из равенства скалярного произведения нулю уже не вытекает обязательное равенство нулю одного из сомножителей. Тем не менее мы покажем, что алгебраические законы умножения чисел полностью сохраняются и для скалярного умножения.

а) Закон переместительности. Скалярное произведение не меняется от перестановки множителей, т. е.

Действительно, если угол менаду векторами то

т. е.

б) Закон распределительности. Скалярное умножение вектора на сумму векторов можно производить почленно, т. е.

Для доказательства этого закона сначала докажем следующую лемму.

Лемм а. Скалярное произведение равно произведению модуля одного вектора на проекцию другого на первый, т. е.

Действительпо, но определению (рис. 42)

Но по первой теореме о проекциях Следовательно,

и лемма доказана.

Рис. 42.

Рис. 43.

Докажем теперь закоп распределительности. На основании леммы имеем

По второй теореме о проекциях

Следовательно,

Закоп распределительности справедлив для чисел. Поэтому

откуда, на основании леммы, получаем

Закон доказан.

в) Закон сочетательности относительно скалярных множителей. Скалярное произведение не изменится, если скалярный множитель вынести за скобки:

Действительно, если скаляр X положительный (рис. 43), то

Если же скаляр X отрицательный, то

т. е. закон верен во всех случаях.

6. Скалярный квадрат вектора. Так называется скалярное произведение вектора на себя:

По определению скалярного произведения мы получим

т. е.

Итак, скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.