§ 5. Сферические координаты

1. Введение сферических координат.

Зафиксируем в пространстве декартову систему коордипатных осей

Положение точки в пространстве будет определено, если будут заданы следующие числа (рис. 203).

а) Модуль радиуса-вектора точки

б) Радианная мера угла между радиусом-вектором точки и положительным направлением оси причем предполагается, что

в) Радианная мера угла между векторной проекцией радиуса-вектора точки на плоскость Оху и осью Этот угол отсчитывается от положительного направления оси

Рис. 203.

Ох против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси При этом считается, что

Числа называются сферическими координатами точки

Из а), б), в) следует, что области изменения сферических координат характеризуются следующими неравенствами:

При этих ограничениях между точками пространства и тройками значений сферических координат осуществляется взаимно однозначное соответствие, которое будет нарушаться лишь вдоль оси для точек которой угол остается неопределенным.

Рис. 204.

Из чертежа (см. рис. 203) непосредственно видно, что декартовы координаты х, у, z точки относительно зафиксированной системы декартовых осей связаны со сферическими координатами этой точки формулами

Следовательно, радиус-вектор текущей точки выражается через сферические координаты так;

Координатными поверхностями в сферических координатах являются следующие поверхности (рис. 204):

1) поверхности сферы с общим центром в начале координат

2) поверхности круглые конусы с общей осью

3) поверхности полуплоскости, проходящие через ось

Нетрудно усмотреть, что координатные линии, по которым пересекаются координатпые поверхности, взаимно ортогональны в каждой точке пространства, не считая точек оси Следовательно, сферическая система координат является ортогональной.

2. Линейный элемент и элемент объема в сферических координатах.

Продифференцировав радиус-вектор (см. (19.65)) текущей точки по ее сферическим координатам получим векторы ненормированного подвижного репера, порожденного сферической системой координат

При помощи этих формул легко проверить, что векторы репера взаимно ортогональны:

Точно так же легко вычисляются коэффициенты Ламе:

Учитывая эти выражения для коэффициентов Ламе, находим квадрат линейного элемента (19.45) в сферических координатах

и элемент объема

Этот элемент объема является главной частью элементарного объема т. е. объема шестигранника, образованного двумя тройками координатных поверхностей, проходящих через исходную точку и соседнюю точку (рис. 205).

3. Дифференциальные операции в сферических координатах.

Имея в виду выражения для коэффициентов Ламе (19.67) и общие формулы для дифференциальных операций в ортогональных координатах также учитывая, что векторы подвижного репера образуют правую систему, мы получим следующие выражения для дифференциальных операций в сферических координатах:

Рис. 205.

4. Видоизмененная система сферических координат.

Вместо второй сферической координаты 0 часто употребляется радиапная мера угла между радиусом-вектором

точки и плоскостью Этот угол считается положительным, если точка отклонена от плоскости в сторону положительного направления оси и отрицательным в противном случае:

Таким образом, получается, видоизмененная система сферических координат При этом подвижной репер получается правым, если считать первой координатой, второй и третьей.

Связь между координатами 0 и очень простая:

Формулы для дифференциальных операций в видоизмененной системе сферических координат приобретают следующий вид: